用麦克斯韦速度分布律探讨粒子的速度分布函数

陈丽珠+谢爱根

摘 要 本文叙述了麦克斯韦速度分布律的适用范围，用麦克斯韦速度分布律分别探讨了气体分子的三维、二维和一维运动时的速度分布函数，并讨论了等离子体的带电粒子在均匀磁场中的速度分布函数。文章拓展了学生对麦克斯韦速度分布律的理解，有利于培养学生用课本知识解决实际问题的能力。

关键词 麦克斯韦速度分布律 气体分子 带电粒子

中图分类号：O552.3   文献标识码：A   DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.09.016

The Discussion of particle's Velocity Distribution Function

by the Law of the Maxwell's Velocity Distribution

CHEN Lizhu， XIE Aigen

（School of Physics and Optoelectronic Engineering， Nanjing University

of Information Science and Technology， Nanjing， Jiangsu， 210044）

Abstract This article introduces the scope of the law of the Maxwell's velocity distribution. The law of Maxwell's velocity distribution is used to discuss the velocity distribution function of gas molecules in one dimension， two dimensions， and three dimensions， respectively. The velocity distribution function of charged particles of plasma in uniform magnetic field is also demonstrated. The students can further understand the law of the Maxwell's velocity distribution. Thus， it can help the development of resolving the actual problem based on the learned knowledge.

Key words the law of the Maxwell's velocity distribution; gas molecules; charged particles

很多大学物理或者热学教材一般都先介绍讲理想气体的压强和内能，然后再讲分子速度（或速率）分布，所以常指明或被读者误解为所讲的麦克斯韦速度分布是理想气体分子的速度或速率分布。实际上并不这样。本文先介绍了麦克斯韦速度分布律的适用范围，针对气体分子或带电粒子的具体情况，用麦克斯韦速度分布律给出了气体分子的三维、二维和一维运动时的速度分布函数，并讨论了等离子体中的带电粒子在磁场中的速度分布函数，拓展了学生对麦克斯韦速度分布律的理解和应用，有利于教会学生将课本学会的知识转化为自身的思维能力和创新能力，有利于培养学生用课本知识解决实际问题的能力。

1麦克斯韦速度分布律的适用范围

很多大学物理或者热学教材常指明或被读者误解为所讨论的麦克斯韦分布仅限于理想气体。实际上，麦克斯韦速度分布律的适用范围非常广泛。大学物理1982年第9期顾世洧老师的文章证明了麦克斯韦速度分布适用于非理想气体及多元气体。①对等离子体而言，麦克斯韦速度分布适用于等离子体的每一组元。②此外，麦克斯韦速度分布不仅适用于单原子分子气体，而且适用于多原子分子气体。

后来，卜德政同志的文章证明了麦克斯韦速度分布适用于恒定外场（如稳定电场或重力场）中的气体。文章指出，麦克斯韦速度分布的适用范围可以扩大到液体或固体，或任何经典粒子系统。③仝天魁及陈德坤老师的文章则分别说明了麦克斯韦速度分布适用于重力场中的气体④及稳恒电场中的电子气体。⑤

除了传统的经典粒子系统外，《大学物理》1989年第1期陈忠胜老师还探讨了相对论情况下的麦克斯韦分布。⑥吴敢老师的文章讨论了麦克斯韦分布对应于量子统计方法的结果。⑦

在平衡态下，假如气体分子在二维空间内运动，则速度只有两个分量和，设这两个分量都服从麦克斯韦速度分布律。根据麦克斯韦的假定，速度的两个分量的分布是彼此独立的，因此，二维情形下的速度分布函数为：

根据（1）式和（2）式，可求出二维情形下的速度分布函数：

同理，平衡态的气体分子作一维运动时，分子速度只有一个分量，设这个分量都服从麦克斯韦速度分布律。因此，根据（3）式，可求出一维情形下的速度分布函数为：

3带电粒子的速度分布

当等离子体处于均匀磁场中时，平行于磁场方向的运动状态不会被改变，但垂直于磁场方向的运动状态会被影响。由于这两个方向运动状态的不同，等离子体在磁场中呈现出各向异性的特性。带电粒子的平行速度分布和垂直速度分布可能不一样，这导致我们必须分别探讨相应的平行温度和垂直温度。带电粒子沿着磁场方向作一维运动时，其速度分布服从麦克斯韦速度分布律，根据（8）式，带电粒子在平行于磁场方向的速度分布函数为：

在垂直磁场方向，带电粒子的速度应服从麦克斯韦速度分布律。根据（7）式，带电粒子在垂直于磁场方向的速度分布函数为：

一般情况下，带电粒子在磁场中既作平行于磁场方向的运动，又作垂直于磁场方向的运动，而且这两个方向的运动是彼此独立互不干涉的;带电粒子在平行于磁场方向的速度分布函数与带电粒子在垂直于磁场方向的速度分布函数是彼此独立的。因此，根据（9）式和（10）式，等离子体的带电粒子在均匀磁场中的速度分布函数为：

当然，由于等离子体的中性粒子不受磁场的作用，等离子体的中性粒子的速度分布还是可以用（5）式表达。

总之，麦克斯韦速度分布的应用非常广泛。它适用于气体分子及带电粒子，也适用于有恒定外场的情况。我们要根据实际情况具体讨论对应的分布表达式。希望通过详细讨论麦克斯韦分布的应用，可以促进学生逻辑思维的发展，帮助学生将课本学会的知识融会贯通，以提升自身的思维能力和创新能力。

注释

① 顾世洧.麦克斯韦分布律适用的范围[J].大学物理，1982（9）.

② 李定，陈银华，马锦秀等.等离子体物理学[M].北京：高等教育出版社，2006：2-5.

③ 卜德政.也谈麦克斯韦分布适用的范围[J].大学物理，1984（3）.

④ 仝天魁.麦克斯韦速度分布律应与重力场无关[J].大学物理，1985（4）.

⑤ 陈德坤.通电导体中电子的速度分布规律[J].武汉科技学院学报，2006（6）.

⑥ 陈忠胜.相对论条件下的麦克斯韦分布[J].大学物理，1989（8）.

⑦ 吴敢.麦克斯韦速度分布律几种证明方法的比较[J].大学物理，1989（8）.

⑧ 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程[M].北京：高等教育出版社，1998：132.