关于直线对称区域上二重积分的计算

孙兰敏，岳亚楠



关于直线对称区域上二重积分的计算

孙兰敏1，岳亚楠2

(1. 衡水学院 数学与计算机学院，河北 衡水 053000；2. 平山县教育局，河北 平山 050400)

当积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性时，可以简化二重积分的计算过程．给出并证明了积分区域关于一个坐标轴对称、关于两个坐标轴都对称、被积函数具有某种特性的二重积分计算公式，进而给出积分区域关于任意直线对称的二重积分的计算公式；举例说明了各类重积分计算公式的应用．

对称区域；二重积分；奇偶性

二重积分是高等数学，乃至数学分析的重点和难点，当积分区域关于坐标轴对称，被积函数关于某变量具有奇偶性时，可以简化计算过程，更一般的，当积分区域关于平面上任意直线对称，被积函数关于此直线具有奇偶性时也可以简化计算过程．下面给出各种特殊二重积分的计算公式．

1 积分区域关于坐标轴对称

例1[1]计算，：，．

例2[2]设，求积分，．

2 积分区域关于任意直线对称

定义1[3]设平面内一直线:，若点可推出点，其中

随着国家铁路网建设与城市发展，穿越城区的部分铁路将通过外迁等方式重新发挥新的活力。与此同时原铁路走廊却逐步成为城市发展的一道“裂痕”。本文在对废弃铁路沿线问题剖析的基础上，结合铁路再利用模式提出了铁路沿线地区“面—线—点”的交通优化策略，并以南京宁芜铁路进行了实例分析，以期通过多种交通方式系统融合、沿线地区交通织补以及重要节点精细化设计与控制等策略方法，实现废弃铁路沿线地区交通系统的优化与提升。

计算可得

显然：

雅克比行列式

所以

所以

例3[2]计算积分，其中区域

例4[3]计算二重积分，其中

由推论1得

[1] 钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003:493-522.

[2] 李克俊.对称积分区域上的重积分[J].成都师范学院学报,2013(1):98-100,111.

[3] 马巧云,胡丽平.区域对称性和函数奇偶性在积分计算中的应用[J].河南科学,2008(12):1451-1455.

Calculation of Double Integral in Linear Symmetrical Region

SUN Lan-min1, YUE Ya-nan2

(1. College of Mathematics and Computer Science, Hengshui University, Hengshui, Hebei 053000, China; 2. Education Bureau of Pingshan County, Pingshan, Hebei 053000, China)

While the region of integration possesses symmetry and the integrand possesses parity, the calculation of double integral can be simplified. The author proved the computational formula of double integral when the region of integration is symmetrical about one or two coordinate axis and the integrand possesses certain properties, and based on it, gave the computational formula of double integral when the region of integration is arbitrary linear symmetrical. The author also exemplified the application of the computational formula of various multiple integrals.

symmetrical region; double integral; parity

(责任编校：李建明 英文校对：李玉玲)

10.3969/j.issn.1673-2065.2015.01.003

O172.2

A

1673-2065(2015)01-0008-04

2014-09-19

孙兰敏(1963-)，女，河北深州人，衡水学院数学与计算机科学学院教授；

岳亚楠(1990-)，女，河北平山人，平山县教育局特岗教师．