设计有效问题串，引导学生主动探究——以“二项式定理”的教学为例

●江苏省梁丰高级中学 宋东娟

设计有效问题串，引导学生主动探究
——以“二项式定理”的教学为例

●江苏省梁丰高级中学 宋东娟

传统应试教学追求“快节奏、大容量”的“题海式”讲练教学，在课堂上不可能给学生留下足够的思考时空，学生始终处于被动接受状态.这种教学，忽略了学生的主体地位，忽视了调动学生学习数学的积极性和主动性.随着新课程改革的不断深入，把学习的时空还给学生，让学生快乐学习，越来越成为广大教育工作者追求的目标.最近教研室在笔者所在学校开展了“学为中心”理念下课堂教学的组织形态问题研讨课，笔者执教了“二项式定理”一课，在仔细研读教材后，在教学设计上作了一些思考，在课堂教学中，把主动权交给学生，学生的探究积极性很高，自感效果不错，现把探究问题的设计意图、教学流程及关键部分的教学过程等整理成文，与读者交流、研讨，以期抛砖引玉.

一、内容分析

“二项式定理”是苏教版选修2-3第一章的内容，其特殊情况（a+b）2、（a+b）3早在初中阶段学生就已学习过，但要得出（a+b）n的展开式，仅仅知道乘法分配律是不够的，还需要一些“组合”知识，因此，教材把它安排在“排列组合”之后.利用二项式定理，可以解决一些指数（正整数）较大的多项式问题，它在江苏高考理科卷中也有十分重要的地位，常以压轴题的身份出现在附加题中.

二、教学方法分析

“二项式定理”第一课时，不仅要让学生理解二项式定理、把握其结构特征、能运用定理解决一些简单问题，更需要定理的生成过程，增强学生探究、发现问题的能力，真正激发学生学习数学的热情.由于“二项式定理”是关于正整数n的命题，因此定理的生成，可以归纳探究为主线设计问题，引导学生从特殊情况n取1、2、3、4出发，发现一般性结论，正好“归纳推理”是选修2-2中的内容，学生已经学习过，这也体现了学以致用的原则.对于（a+b）n的展开式，学生容易发现其项数、字母a和b的指数的变化规律，而各项系数的变化规律较难发现，这是本节课探究的核心，需要教师巧妙设计问题，并合理引导.

三、教学过程设计

1.提出问题

问题1：对于正整数n，用什么方法能得到（a+b）n的展开式？

设计意图：问题1的提出虽有点儿唐突，甚至让有些学生不知所措，但这样的设计是有必要的，要让学生自己分析出由特殊到一般的归纳思想，即根据特殊情况n取1、2、3、4，猜想出（a+b）n的展开式，从而使学生深刻认识到“归纳推理”在处理正整数问题中的重要性.

倘若设问：由多项式的乘法法则，我们已经知道（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式，能得到（a+b）n的展开式吗？这样的设问过渡很自然，学生会立即运用归纳的手段，但学生失去了对解决方案选择的思考，相当于教师引导过多，失去了探究的本真性.

2.学生自主探究

问题2：通过归纳推理，你有哪些发现？

这一过程约需要5分钟，一般情况下，学生都能得到（a+b）n的展开式：（1）共有n+1项；（2）每一项中a、b的指数之和都为n；（3）首尾两项an、bn的系数都为1等，因而可初步归纳（a+b）n的展开式，即（a+b）n=an+an-1b+an-2b2+an-3b3+…+abn-1+bn，主要是中间n-1项的系数还要进一步归纳探究.

3.系数探究，定理构建

系数探究是二项式定理生成的核心过程，笔者将课堂教学的具体过程整理如下.

师：同学们已经初步归纳出（a+b）n的展开式，只是中间n-1项的系数还不清楚，这说明我们对展开式中各项的成因不清楚，还需要进一步分析和归纳，请大家思考问题3.

问题3：对于（a+b）3的展开式，为什么a2b的系数为3？（PPT展示）

设计意图：如果学生没有预习，绝大多数学生（甚至全部）是没有办法归纳出中间n-1项的系数的变化规律的，他们找不到探究方向，这时需要教师适时点拨.问题3的提出，使得学生明确了分析目标，只要运用乘法分配律理清a2b的形成过程，就能知道a2b的系数为什么是3，由此，他们就能归纳出（a+b）n的展开式各项的系数.

生1：（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b），第一个括号、第二个括号中的字母a与第三个括号中的字母b相乘得a2b；第一个括号、第三个括号中的字母a与第二个括号中的字母b相乘得a2b；第二个括号、第三个括号中的字母a与第一个括号中的字母b相乘得a2b，所以a2b的系数是3.

师：对！生1利用列举法得到a2b的系数是3，有没有更好的解释方法？

生2：要得到a2b，在三个括号中，从其中两个括号中取字母a，从另一个括号中取字母b相乘得到，运用组合知识，共有种情况，所以a2b的系数是3.

师：不错！生2用组合知识解释了a2b的系数为什么是3.这里同学们注意一下，通常把组合数的上标对应于字母b的指数，所以该项可写成我们再认识一下（a+b）3的各项，谁来进一步总结一下？

生3：（a+b）3的展开式的每一项都是3次项，每一项都是从3个括号中各取1个字母的乘积，所以（a+b）3展开后为

师：好！根据乘法分配律可知：同一括号内的字母不能相乘，一括号内的字母可以与其他括号内的任何字母相乘，展开式的每一项中字母b的指数对应于选择字母b的括号数，所以每一项的系数都可以用组合数表示.通过以上分析，请同学们思考问题4.

问题4：根据问题3的分析，你能得出（a+b）n的展开式吗？（PPT展示）

师：对！解释一下展开式的得出过程.

生4：（a+b）n的展开式是由n个（a+b）相乘得到，第一项是从每个括号中都取字母a相乘，得；第二项是从n-1个括号中取字母a，从另一个括号中取字母b相乘，得，依次类推可得（a+b）n的展开式.

师：好！我们再看an-rbr项的系数，它是从r个括号中取字母b，从另外n-r个括号中取字母a相乘得到的，所以它的系数是Cnr，其上标通常与字母b的指数对应.以上我们得到的公式叫二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式.

设计意图：原先课前的教学设计，是定理生成之后，讲授定理的运用，用PPT展示课本例题及变式，但考虑到时间问题，到此离下课仅有10分钟时间，例题的讲解剖析会有点儿草率.因此，课堂上临时做了调整，原来准备的PPT未展示，直接提出二项式系数和的问题.现在想来也有合理之处，问题5的二项式系数和问题，是在上述详细分析二项式系数的概念之后提出的，过渡自然，又进一步加强了对定理的理解，体现了知识间的关联，而且问题5也算是定理的运用.

5．课堂小结

问题6：通过本节课的学习，你有哪些收获？

设计意图：课堂小结交给学生，让他们自己总结学习的得失，长期如此，能养成善于总结、归纳问题的好习惯.主要是让学生总结出以下三点：（1）对于正整数方面的问题，要善于用归纳推理的手段研究一般性结论；（2）学习了二项式定理，我们能得到两数之和的任意正整数指数幂的展开式；（3）对于组合数公式我们有了新的证明方法.

四、教学感悟

1.合理设计问题，促进学生思维.

问题，是驱动学生思维的源泉！在数学教学中，好的问题，可以启发学生的思维，形成有效的数学探究活动.因此，所设计的问题要符合学生的实际，如果问题过大、过难，会造成学生无从下手，教师启而不发；当然，问题过小、过碎，也不行，学生遵循教师的思路（必经之路），最终达到目的，这样的引导，学生思维量小，失去了“探究发现”的意义（见文2）.如文中问题1，若改为“我们已经知道（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式，能得到（a+b）n的展开式吗？”，则思维量过小，学生失去了用归纳思想解决整数问题的思考.再如文中问题3，提出“为什么a2b的系数为3？”，学生有能力解决，若直接提出“怎样得到（a+b）n的展开式的各项系数？”，学生将无所适从.此外，还需要注意问题间的自然过渡，使学生的思维能够延续，这样容易激发学生思维的兴奋点.

2.注重数学概念的教学

章建跃博士在文3中讲到，概念表明了我们研究的数学对象是“什么”.研究一个数学对象的性质，前提是对概念内涵（要素）有清晰的把握，……，数学研究的第一步就是要从数学的角度——舍弃事物的其他属性，从数形的角度抽象出事物的本质属性，获得数学研究对象.从数学学习的角度看，抽象过程需要经历一系列的观察、分析、比较、归纳、概括等思维活动，要让学生通过对一些典型的、丰富的具体实例的观察，通过比较、分析等思考活动，归纳出事物的共同属性，并概括到同类事物中去，得到这类事物的本质属性，进而获得概念.在本文的教学案例中，要得到（a+b）n的二项展开式，首先由学生对（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式进行观察，通过自主探究，初步发现（a+b）n的展开式的特征，进而指导学生观察、比较（a+b）3的展开式中各项的系数，分析其成因，总结出各项系数的一般属性，从而得到二项式定理.

3.数学课堂模式未必要套路化

本文的教学案例，原定的教学计划是按常规的教学思路：提出问题—探究构建—知识运用—课堂小结，由于定理的探究生成过程较长，影响了定理运用这一教学环节，因此课堂教学临时调整，省去知识运用环节，把所剩不多的时间用于对二项式系数的深化理解.对此，笔者认为没有什么不妥，教学应为促进学生的理解而设，追求课堂教学步骤的完整没有错，但我们的教学更应符合学生的认知规律、顺应学生的分析理解能力、满足学生的探究需求，让学生先透彻理解概念、定理、公式等，把知识运用放到下一节课，有何不可？

1.单墫.苏教版普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-3）［M］.南京：江苏教育出版社，2012.

2.聂必凯，等.美国现代数学教育改革［M］.北京：人民教育出版社，2010.

3.章建跃.编后漫笔：如何理解“数学是玩概念的”［J］.中小学数学，2015（1-2）.A