数学图式：探寻儿童数学学习的新视角

薛仕扣

【摘 要】本文从一则寓言引发对儿童数学学习的思考，让数学教学不知从何开始的尴尬到找准的学习起点，从而对儿童数学图式和学习的关系进行深入思考，试图阐述数学课堂中如何合理有效地运用学生的数学图式。

【关键词】数学图式；数学学习；视角

一、寓言故事：由《盲人摸象》引发的思考

从前有个国王，叫人牵一头大象，让盲人去摸后谈感受。摸到牙齿的说大象像萝卜，摸到耳朵的说像簸箕，摸到脚的说像柱子……站在旁观者的角度看，盲人的判断是错的。但从盲人自身角度来看，盲人因看不见大象，而只摸到大象身体的一部分，由此调动已有的认知经验，去判断大象像什么，他们的判断依据存在合理性。

由盲人摸象迁移到儿童学习，儿童在学习知识的过程中，因经验不足或已知的知识基础薄弱，在学习中难免会顾此失彼、以偏概全，作为教师，理应慎重对待。

儿童用已有的经验方式对现实的学习有着直接影响，而随后学习到的经验又为后面的学习作充分准备，这种经验方式即为图式。对于上述寓言故事中，摸到大象牙齿的盲人来说，他已有的图式（萝卜）对所摸的物体（大象的牙齿）有着直接的影响，决定着对大象的判断。儿童在数学学习活动中，形成的一种用以解决数学问题所特有的认知方式，即为数学图式。在儿童的成长过程中，形式多样的生活现象不断进入他们的认知领域，完善他们的图式，这些图式正是儿童数学学习的重要资源。

二、课堂现场：从“从何开始”的尴尬到“从那开始”的释然

图1是国标本苏教版小学数学第十册39页“认识真分数和假分数”中“练一练”的第1题。

【流程设计】

1.出示三个已被平均分成4份的圆，让学生涂色表示出1/4、3/4和4/4，并思考每个分数各有几个1/4，如果要表示5个1/4，如何涂色。

2.出示两个已经被平均分成4分的圆，让学生涂色，表示出5个1/4。

3.继续涂色，表示2/5、10/5和13/5，感受真分数和假分数的实际意义。

4.揭示真分数和假分数的概念，完成“练一练”第1题。

图1

学生完成“练一练”第1题后的反馈是：图1和图2的正确率为100%，图3和图4有86%的学生用分数7/4和6/3表示，14%的学生用分数7/8和6/6表示。

上述案例之所以有出现错误的学生，原因在于教师对学生已有的数学图式理解不足，虽然有86%的学生在引导下能用分数正确表示出图3和图4的涂色部分，但其他学生的错误答案应引起重视。

【起点调整】1.许多物体组成一个整体可以是单位“1”，这个整体中的一部分也可以是单位“1”，单位“1”是一个相对的概念；

2.图中的大括号是指将两个或两个以上的图形合起来用一个分数表示，与单位“1”没有直接联系。

【重新设计】1.出示三个已被平均分成4份的圆，让学生涂色表示出1/4、3/4和4/4，并思考每个分数各有几个1/4，分数1/4、3/4和4/4是以什么作为单位“1”。

3.如果要表示5个1/4，应怎么涂，指出：用一个圆最多只能表示4个1/4，表示5个1/4需要用2个图形，但仍是以一个圆作为单位“1”。

总结：涂色部分不满单位“1”时，分数的分子比分母小；涂色部分正好是单位“1”时，分数的分子与分母相等；涂色部分超过单位“1”时，分数的分子比分母大。再次强调是以一个圆作为单位“1”。

4.继续涂色，表示2/5、10/5和13/5。涂色之前，让学生判断2/5需要1个圆，10/5需要2个圆，而13/5需要3个圆。但2/5、10/5和13/5这三个分数都是把一个圆平均分成5份，单位“1”都是一个圆。10/5中的大括号的作用是10/5需要两个圆来表示，不是单位“1”由1个圆变成2个圆。13/5中的大括号的作用同理。

5.揭示真分数和假分数的概念，并完成“练一练”第1题。

学生反馈情况：图3和图4有98%的学生用分数7/4和6/3表示。

通过对“认识真分数和假分数”学习起点的探索，我认为在课前了解学生的数学图式，设计出符合学生的教学过程，有利于课堂的顺利进行和效率的提高。

三、理性思考：从数学图式看儿童数学学习的起点

数学课程不仅要考虑数学自身的特点，更该遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发。数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应该激发学生的学习积极性，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握最基本的数学知识、技能、思想和方法，获得广泛数学经验。

数学教学模式如何开启，作为教师，首先应想到：我们的学生已经知道了什么，需要学些什么。在学习之前，他们已经有了什么样的基础等一系列问题。教学的起点，就是充分尊重儿童已经具备的数学图式，建立在他们已有的数学图式基础之上，让学生自己利用已有的图式主动建构新的数学图式。他们的学习过程是数学图式的激活、利用、调整、提升的过程。

【参考文献】

[1]《数学课程标准（实验稿）》.北京师范大学出版社

[2]皮亚杰.《发生认识论原理》.商务印书馆.1981

[3]郑君文，张恩华.数学学习论[M].南宁：广西教育出版社.2004

（作者单位：淮安市实验小学）