从复数的起源看复数的教学

【摘 要】近年来，高考对复数的考察题型主要以选择、填空的形式出现，而考察内容则主要为复数的代数形式以及四则运算。实际上，现在的高中生大多能熟练掌握复数的四则运算，而对复数本身的概念知之甚少。本文主要从复数的起源介绍为何引入虚数单位，虚数是否真的存在于现实世界中。

【关键词】复数;几何意义;数学史

普通课程标准试验教科书数学中以二次方程x2+1=0无实数解引入虚数单位，紧接着介绍复数的几何意义以及复数代数形式的四则运算。在这个过程中，由于对复数概念的强调不够，很多学生在复数学习结束之后仍然不懂什么是复数。实际上，最初的虚数的引入是为了解决三次方程的求根问题，如果我们能合理利用史实，那么让学生从心理上接受虚数单位i也许就不那么困难了。

意大利数学家卡丹在其《大术》（1545）中提出如下著名问题：将10分成两个部分，使他们的乘积为40.卡丹写道：“显然，该问题是不可能的。不过我们可以用这样的方式来求解。将10等分，得5，自乘得25.减去乘积自身，得-15.从5中减去和加上该数得平方根即得乘积为40得两个部分，即。……抛开精神上的痛苦，将乘以，得25-（-15）=40……这的确很矫揉造作，因为利用它我们并不能做在纯负数情形中所能做得运算。”（这里+、-、均为今天的符号）（Kleiner，1988）

虽然后来卡丹自己并不能理解这种数，但这却让虚数的发展前进了一大步。在教学时也可以考虑引入类似的适当的数，让学生直观感受虚数的必要性和存在的真实性，而不仅仅是介绍虚数的定义。

例：已知，求x+y，以及x与y的值。

对于x+y，学生可以直接利用完全平方公式进行求解，得

而对于x与y，利用题目的条件可以整理得：x4-2x2+4=0，显然Δ=-12<0，即x无实数解，但实际上，因此一定存在某种定义方式，使得x与y有解，至此，引出虚数的实际定义。

实际上，可以让学生回顾数系发展的历程，每一次的扩充都是与实际的需求想结合的。为了能在任意两个自然数之间进行加减，我们出现了负数;为了能在两个任意整数之间进行乘除，我们出现了分数，在初中的时候为了正确表示每个正方形的对角线的长度，我们引入了无理数，至此，数系从自然数扩展到实数。然而，为了正确表示每个一元多项式方程的根，我们引入了虚数。【代数学基本定理：任何复系数一元n多次多项式方程在复数域上至少有一根（n≥1），由此推出，n次复系数多项式方程在复数域上有且只有n个根（重根按照重数计算）】虚数名“虚”实则不虚，虚数在自然界中是实际存在的。

在教材中，我们习惯直接使用直角坐标系表示复平面上的点，并将这个具有特殊意义的直角坐标系命名为复平面。很多学生在使用复平面时会不自觉的将实轴与虚轴相混淆，最终导致对虚数几何意义理解错误。从数轴的定义可以知道，数轴的正方向表示正实数，负方向表示负实数，有了这个定义，实数与数轴上的点一一对应。正实数a变为复实数-a，可以理解为正实数a乘于-1，即点（a，0）绕着原点旋转180°，当出现虚数单位时，由于i2=-1，也就是说乘于两次i相当于旋转了180°，即由实数a变为虚数ai，只需将点（a，0）绕着原点旋转90°，即可定义直角坐标系中的x轴为实轴，y轴为虚轴。至此，复平面上的点与复数一一对应。紧接着引入复数模的概念，将复数的几何定义与距离建立起联系。

综上所述，从复数的起源到复数的教学，遵从历史史实更能让学生真正明白复数的概念以及复数的几何意义，而不仅仅记住复数的代数形式的四则运算这种机械式训练。

参考文献：

[1]郑连伟，宋叔尼，复数的教学研究及柯西积分定理的简化证明[J]，沈阳师范大学学报（自然科学报），2010，28（4）.

[2]张秀芬，复数教学中如何渗透数学思想[J]，杭州师范学院学报（自然科学版），2004，3（3）.

[3]赵瑶瑶，复数的历史与教学[D]，上海：华东师范大学，2007.

[4]赵瑶瑶，“以史为鉴”--复数教学设计[J]，中学数学月刊，2008.

作者简介：

官友凤，女，1994年3月，汉族，籍贯：广东省普宁市，学历：本科，职称：学生，主要研究方向或所学专业：数学与应用数学（师范），单位名称：华南师范大学数学科学学院。