运算律应该怎么教学

俞正强

不管是学生还是教师，都觉得运用乘法分配律很难，差错很多，因此，有许多学生很怕简便运算。这很令教师困惑：原本可以减轻计算负担的运算定律为何却成为学生的负担？下面我们以“乘法分配律”为例，讨论运算律应该怎么教学。

一、理解：算律是算法的“窍门”

计算教学的目标可以概括为四个字：又对又快。当将算律与算法放在一起时，相对而言，算法解决的是“对”的问题，而算律解决的是“快”的问题。算律是对算法的熟能生“窍”。因此，算律源于算法的运用。所以，算律的教学应该从算法的运用开始。为此，“乘法分配律”的教学应该有这样的流程。

流程一：练习，看谁算得又快又对。（独立完成）

14×6+6×6

78×14+22×14

146×12– 46×12

……

设计意图：这些题目，学生在计算时会有以下两种方法。

方法1：按照“先乘除后加减”的算法进行计算

14×6+6×6

=84+36

=120

方法2：按照“几个几加几个几一共几个几”的意义理解进行计算

14×6+6×6

=20×6

=120

就当下的学生而言，对混合运算的算法，教师是教过的。但运用乘法意义来做这题目，则是学生自己的“调皮”，或者说是“窍门”。

流程二：讨论，怎样算得又对又快？

问题：我们能改变运算顺序吗？

结论：14个6加6个6一共是20个6。

设计意图：学生对乘法分配律的理解，在小学二年级算两位数乘一位数的时候，就已经蕴含其中了。

12×3→10×3+2×3=36

当时的理解是10个3加2个3一共是12个3。因此，学生理解14个6加6个6是20个6是很自然的事。也就是说，学生将这一类题目的运算顺序加以改变，十分自然。

流程三：讨论，我们改变运算顺序跟这些题目有关吗？是不是所有题目都可以改变运算顺序呢？

材料： 14×6+6×6

78×14+22×14

146×12-46×12

结论：运算特征： 乘 加（减） 乘 a×b±c×b

数字特征：有一个相同数 b

两个凑整数 a±c为一整数

设计意图：教师提供的这组练习题有两个特征：运算特征与数字特征。当满足这两个特征时，可以先加减后乘，这样就把运算律的前提条件给明确了。

流程四：判断这样算法，是又对又快吗？

① （25+14）×4 ② （15+45）×3

=25×4+14×4 =15×3+45×3

=100+56 =45+135

=156 =180

问题1：先算括号里面再算括号外面，这两道题目都没有先算括号里面，可以吗？

问题2：改变运算顺序的目的是什么？哪道题目的算法满足这个目的？

设计意图：几个几加几个几等于共有几个几，反之，共有几个几可以分为几个几加几个几。改变运算顺序的目的是为了又对又快，于是得出我们认可并推荐的“窍门”，将其命名为乘法分配律。

（a±b）c=ac±bc

流程五：练习（略）

二、讨论：算律是“规律”的运用

目前，教材基本上把算律归为“规律”，其基本流程如下。

与该流程相类似的在小学数学教学中通常限于“数学好玩”或“数学广角”等材料中，比如“打电话”。

我们可以比较打电话与乘法分配律两个教学内容，打电话需要分析个例发现规律，以解决比较繁杂的问题，这是正确的。但乘法分配律这个算律如果称之为规律，可以用意义来理解，不需要发现。把乘法分配律作为问题解决来教学，是在把简单问题复杂化。

三、推而广之：加法交换律应该怎么教学

一次，有位同事问：加法交换律的生活原型是什么？想了许久，也想不出加法交换律的原型。在去听课的过程中，发现有的教师会请两位学生到讲台上来，问其他学生：这是谁和谁？

然后将两位学生交换位置，问：这又是谁和谁？

学生回答：是谁和谁。

教师问：有没有变化？

学生回答：没有变。

教师又说：这是不是说明位置变了，大小没变啊？

学生回答：是的。

听了这个原型，心里有一种说不出的味道，书上是这样设计的：

一问：2+8=10

二问：8+2=10

三问：同学们，有什么发现吗？

问题是，2+8=8+2，这需要发现吗？难道不发现就不能知道2+8=8+2了吗？

那么，正确的呢？自然应从算法入手。

流程一：练习，看谁算得又对又快？

8+6+2

7+9+3

11+5+9

流程二：交流，谁算得又对又快？

从左到右依次计算→先凑整再相加。

流程三：讨论，这样改变运算顺序的理由是什么？

都是合并（加法意义）。

流程四：结论，连加算式中，如果能凑整，可以改变顺序，交换位置，即两个加数交换位置，和不变。

四、比较：差别在哪里

我们来比较两种教学流程所呈现的教学意义上的差别，如表1所示。

表1 两种教学流程呈现的教学意义上的差别

两种主张：对于知识而言，学生最终要记住ab±ac=a（b±c），并运用它以达到简便运算的目的，差别不大。但对知识的获得过程，两种主张的差别是巨大的。

本文主张要使学生深刻地认识到，算律脱胎于对算法的灵活运用，而灵活运用的依据是对运算意义的理解。教材主张的特征是割裂了算律与算法之间的密切联系，使之成为一个独立于算法的规律，把一个自然而然的“窍门”变成隆重的问题解决。

以上思考，仅供大家参考。

（责任编辑：孙建辉）