从一则教学案例谈数学课堂教学

彭玉光

数学课程标准（2011版）提出：“义务教育数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需求”“不同的人在数学上得到不同的发展”。本文以《比例的基本性质》为例，阐述以人为本的数学课堂教学中如何促进学生更好地发展。

一、案例回放

下面是六年级下学期《比例的基本性质》一课部分教学过程及课后研讨的回放。

教师让学生通过计算，发现三个比例的外项积都等于内项积，进而引导学生提出初步猜想：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。然后让学生举出更多的例子来验证，再让学生寻找反例。上述活动完成后，正当教师想引导确认猜想成立时，部分学生提出了不同意见。

学生1：虽然有很多例子证明它是成立的，但也不能说明对于所有比例它都是成立的。

学生2：有那么多的比例式子，现在找不到反例，不等于一定没有啊。

听了这两位学生的发言，其他学生也纷纷议论起来，觉得他们说得有道理。

教师（想了想）：在我们验证的比例中，都具有外项积等于内项积这一性质，由于时间有限，我们总不能把所有比例都拿来验证吧。实际上，数学家已经证明了这个性质是成立的。

学生2：怎样证明的？怎么说明所有比例都成立呢？（该学生不依不饶）

教师（稍作了犹豫，之后下定了决心）：其实有一种方法可以证明……

随后，教师引导学生用字母式来验证：由■=■（b、d≠0），等式左右两边同时乘bd，可得ad=bc，由此证明所有的比例具有外项积等于内项积这样的性质。

最终学生心悦诚服地“承认”了比例的基本性质。

课后，上课教师“心有余悸”地说：用字母，即代数方法来验证比例的基本性质是被学生“逼”出来的，并非课前所预设。当时也犹豫着用不用，因为教材里没有这样的要求。但使用的效果确是令人满意的，学生认可了比例的基本性质。也很庆幸当时走出了这一步，进一步海阔天空啊。

对此，听课教师有不同看法。

有人认为：用代数方法来验证比例的基本性质，超出了一般学生的接受能力，类似的问题应留到中学解决。

还有人认为：用代数方法来验证比例的基本性质“超纲”了，既然教材没有要求，就没有必要讲，学生以后会慢慢理解的。

也有人认为：教师的处理是恰当的，从学生的反映来看，效果是不错的。

各种看法中，持反对意见的教师占了大多数。

二、案例分析

课后听课教师的讨论，引起了笔者的思考：用代数方法验证比例的基本性质有其必要性吗？如有必要，学生能理解与接受吗，教学上具有可行性吗？大多数教师反对用代数方法验证比例的基本性质，原因何在？又折射出教师怎样的教学理念呢？

1. 用代数方法验证比例的基本性质的必要性分析。

（1）从学生接受比例的基本性质这一结论的需要看。

本课教师采取“提出问题——自主计算——汇报交流——初步发现——举例验证——概括总结——字母表征”这一常用的教学思路。这也是一个猜想、验证的归纳推理过程。但令人意外的是，这个班的学生对概括总结出的规律并不认可，与教师“较起真来”，原因何在？

这与教材所采用的不完全归纳法的局限性密切相关。不完全归纳法以事物的部分对象就得出了事物的一般结论，带有想象、猜测的成分，其结论需要经过论证上才能得以确认。显然，部分学生发现了运用不完全归纳法在推导比例的基本性质过程中的漏洞，而与教师“较真”的。如果不用代数方法验证比例的基本性质对于所有比例均成立（一般化），不仅使学生难以接受其结论，也会打击学生“敢于质疑，勤于思考”的积极性。

（2）发展学生的一般化思维模式的角度看。

卡帕特曾经指出，代数是算术推理和定量推理的一般化，代数思维的核心就是一般化的思想。通过用代数方法验证比例的基本性质这一代数推理活动，对于发展学生的一般化思维模式，理解代数思想，乃至实现中小学数学教学的有效衔接无疑是大有裨益的。

2. 用代数方法验证比例的基本性质的可行性分析。

不少教师认为，推导比例的基本性质用合情推理就好了，代数方法的证明学生是理解不了的。事实果真如此吗？

林崇德教授研究后认为，分析小学生数学推理能力的水平可关注四项指标：一是推理发生的范围，即是在算式运算中的推理还是在初步代数式中的推理；二是推理的步骤，即直接推理还是多步间接推理；三是推理的正确性；四是推理的品质抽象概括性，即重复过程还是进行逻辑推论获得本质的结论。

按照上述指标，林崇德教授认为，小学生运算中归纳推理和演绎推理的能力可分为四级水平。其中，归纳推理能力的四级水平为：一是算术运算中直接归纳推理；二是简单文字运算中直接归纳推理；三是算术运算中间接归纳推理；四是初步代数式的间接归纳推理。演绎推理能力的四级水平为：一是简单原理、法则直接具体化的运算；二是简单原理、法则直接以字母具体化的运算；三是以算术原理、法则和公式作为大前提，要求合乎逻辑进行多步演绎和具体化，正确地得出结论；四是以初等代数式或几何原理作为大前提，进行多步演绎推理，正确地得出结论。林崇德教授对城乡五年级的学生进行了测试，发现处于归纳推理和演绎推理的能力第四级水平的学生分别为36.7%和56.7%。

苏州大学的杨彦教授认为，小学阶段要进行代数推理的教学，并且提出如果能够给予学生一定的学习机会和条件，采用适当的教学方法，学生可以从小培养代数推理能力，而这将有益于其将来代数学习及数学能力的养成。

由有关专家的研究可以看出，小学生数学推理能力具有不同的水平，他们进行代数推理是可行的。对于六年级学生而言，具有归纳推理和演绎推理的能力第四级水平的学生无疑会比五年级的学生更多。这从上述案例学生的表现也可为佐证，学生的“较真”是学生思维上的进步，是学生学习的“最近发展区”，说明学生已经具备从“合情推理”向“演绎推理”迈进的思维水平。因此，用代数方法验证比例的基本性质是具有合理性和可行性的。当然，要求全体学生都能理解、掌握用代数方法验证比例的基本性质的过程与方法是不现实的，部分学生还需要教师的指导与帮助才能有所收获。对此，教师教学中应根据学生的实际认知水平作不同的要求，使不同的学生得到相应的发展。

3. 部分教师反对用代数方法验证比例的基本性质的成因分析。

课堂之上，当固有的算术思路与方法已无法说明、无法让学生接受“比例的基本性质”这一结论时，不少教师仍然不敢越代数方法这一“雷池”半步，出自何因呢？

笔者认为，有的教师是把用代数方法进行推理简单的归结为“中学的教学内容”，不想碰；有的教师则由于教材没有呈现有关内容，教师用书没有明确提出有关要求，不敢碰；有的教师则认为相关学生肯定都是接受不了，碰不得。

这显示一些教师对于学生认知发展和思维发展的特点与规律的了解还不够深入，思想上存在着“唯教材”与“经验至上”的错误认知，教学上缺乏根据课堂实际生成状况顺应学生思维适时调整教学的意识。

三、案例启示

如何贯彻新课程理念，用好新教材，本案例能给我们一些启示。

1. 尊重差异，因材施教。

“不同的人在数学上得到不同的发展”是新数学课程重要的理念之一。学生的认知水平、思维发展，既有共性，又有差异性；既有一般性，又有特殊性。实际教学中，把学生的一般水平看作是每个学生的实际水平，或者是把部分学生的认知水平当作是全体学生的共同水平，显然是不适当的。关注学生思维发展的一般性，尊重学生的发展差异，进而因材施教，是教学设计与实施的重要基点。良好的数学教育，理应客观地对待人的差异性，让更多的学生有机会接触、了解乃至深入研究自己感兴趣的数学问题，最大限度地满足每一个学生的需求，为有特殊数学才能和爱好数学的学生，提供更多学习和发展的机会。

2. 不唯教材，善用教材。

“课程内容的选择要符合学生的认知规律” 是新数学课程重要的理念之一。课程的内容和意义在本质上并不是对所有人都相同的，在特定的教育情境中，每一位教师和学生对给定的内容都有其自身的理解，对给定内容的意义都有其自身的解读，从而对给定的内容不断进行变革与创新，以使给定的内容不断转化为“自己的课程”。因此，教师设计与实施教学不能“唯教材”，而应“用教材”，使教材在基于学生认知规律、学生实际认知水平的基础上为教师所用。

3. 辩证看待预设与生成的关系。

诚然，课堂教学是一种有目的、有意识的教育活动，预设是课堂教学的基本特性。教师在课前必须对教学目的、任务和过程有一个清晰、理性的思考和安排。但是，部分教师过分强调预设，强调按原来的设计上课。这样就会限定和束缚学生的自由发展。学生作为一个生命个体，具有主观能动性。带着自己的经验、思考和兴趣参与课堂活动，使课堂呈现出多样性、丰富性和随机性。

有些人把“生成”看成一种意外收获，一种“教育智慧”，而我更愿意把每次的生成，作为一种经验和思考，储备成为下次教学设计的预设之一，根据课堂实际灵活调整教学，所谓“该出手时就出手”。只有积累越多，才能更好地取舍有度，教学才能真正“海阔天空”。这样预设与生成就互相转化，达到统一。

综上所述，只有真正以学生发展为本，课程的选择围绕学生的需求及认知水平，发挥学生在课堂上的主体地位，学生才能得到生动活泼的发展，才能真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。

责任编辑 罗 峰