聚焦中考解题探究

李迎新

初中阶段学习“用字母表示数”这章内容，是同学们在小学学习算术的基础上，向代数知识的过渡，抽象程度又进一步提高了，我们已学过的很多定理性质都可以用字母简洁明了地表示出来，因此它在教学中所处的地位也十分重要. 通过“用字母表示数”这部分内容的学习，不仅有利于巩固和加深大家对已学过的数的知识的理解，而且为学习整式的计算和方程的相关知识打下基础.

下面我们首先来看这样一道中考题.2014年湖南永州的中考试卷中，出了这样一道题：在求1+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：

S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69.①

然后在①式的两边都乘6，得：

6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610.②

②-①得6S-S=610-1，即5S=610-1，所以S=.得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（ ）.

A. B.

C. D. a2014-1

这是一道阅读理解题，我们需要对题目中的阅读内容进行分析，提炼出有效的信息.通过计算1+62+63+64+65+66+67+68+69的过程的阅读，我们首先要弄明白最后的和S=各个部分的由来以及所表达的含义.比如，分母上的5，我们要理解是由6-1得到的.下面我们就可以依样画葫芦，当把6替换成字母a的时候，我们得到的答案应该是B.

具体的解答过程如下，仿照例题，设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014①；在①式的两边都乘a，得：aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015②，

②-①得：（a-1）S=a2015-1，∴S=，即1+a+a2+a3+a4+…+a2014=.

这道题目，考查了我们同学阅读理解的能力，对于数字类的规律探究题的抽象能力和解答能力.如果不能通过仔细审题去充分地理解题意，很容易就会错选成C选项.

下面，我们再来看一看中考题中对这章节知识考查的一些常见的题目类型.

例1 （2014·海南省，第15题）购买单价为a元的笔记本3本和单价为b元的铅笔5支应付款_______元.

【考点】列代数式.

【分析】用3本笔记本的总价加上5支铅笔的总价即可.

解：应付款（3a+5b）元.

故答案为：（3a+5b）.

【点评】此题考查列代数式，理解题意，利用单价×数量=总价三者之间的关系解决问题.

例2 （2014·安徽省，第16题）观察下列关于自然数的等式：

32-4×12=5 ①

52-4×22=9 ②

72-4×32=13 ③

…

根据上述规律解决下列问题：

（1） 完成第四个等式：92-4×_______=_______；

（2） 写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性.

【考点】规律型：数字的变化类.

【分析】由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可.

解：（1） 32-4×12=5 ①

52-4×22=9 ②

72-4×32=13 ③

…

所以第四个等式：92-4×42=17；

（2） 第n个等式为：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1，

左边=（2n+1）2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1，

右边=2（2n+1）-1=4n+2-1=4n+1.

左边=右边.

∴（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1.

【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.

例3 （2014·安徽省，第7题）已知x2-2x-3=0，则2x2-4x的值为（ ）.

A. -6 B. 6

C. -2或6 D. -2或30

【考点】代数式求值.

【分析】方程两边同时乘2，再化简2x2-4x求值.

解：x2-2x-3=0，

2×（x2-2x-3）=0，

2×（x2-2x）-6=0，2x2-4x=6，故选B.

【点评】本题考查了整体代入的思想，看清整体是关键.

同学们通过上述例题的学习和研究，可能会觉得这章节的知识在中考中的题目都较为简单. 其实不然，由于目前我们的数学知识储备相对于初中三年而言还比较少，所以大家见到的都是一些比较容易上手的题目. 随着学习的深入，同学们会发现，学好这部分基础知识，对于我们今后解决其他较为复杂的数学问题有非常大的作用，所以，请大家用心对待哦！

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）