研习代数式，感受数学思想及方法

贾芸芸

把握数学思想方法有利于学生对数学概念和性质的深刻理解和掌握，从而更加灵活地运用数学知识解答相关问题，培养创新能力和应用能力.在解题中常常需要求代数式的值，在求代数式值的过程中，常常渗透多种数学思想方法.本文通过一些具体例子，对代数式这一章所涉及的数学思想及方法作一个总结，与同学们一起感受数学思想方法在代数式化简、求值问题中的威力.同时让同学们体会一下什么是思想，什么是数学思想，数学思想及方法对数学研究意味着什么.

1. 感受用字母表示数的思想

用字母表示数的思想，是基本的数学思想之一.字母表示数是代数的基本特征，也是代数式产生的根本，它能将一些基本的数量关系简明地表示出来，而且能给运算带来方便.求代数式的值就是反过来把代数式中的字母用数替换，再按它的运算关系计算出结果，通过求代数式的值可以更好地感受到字母表示数的意义.课本中的文字表述题、实际应用题都体现了这种思想.

例1 （2014·四川乐山）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需_______元.

【考点】列代数式.

【分析】用单价乘数量得出买2千克苹果和3千克香蕉的总价，再相加即可.

解：单价为a元的苹果2千克用去2a元，单价为b元的香蕉3千克用去3b元，共用去：（2a+3b）元.

从特殊的、具体的、确定的数到一般的、抽象的字母或者含有字母的代数式，这是数学发展史上的一大飞跃.用字母表示数掌握的好坏直接关系到列代数式、代数式的运算、列方程解应用题等内容的学习.

2. 感受整体（换元）思想

在研究问题的过程中，不是从问题的某个局部入手，而是将问题看作一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过研究整体形式、整体结构或整体处理，达到简洁地解决问题的目的，这就是整体思想.

例2 （1） 当代数式5a+3b的值为6时，求代数式2（a+b）+4（2a+b）+2的值.

（2） 已知t=-，求代数式2（t2-t-1）-（t2-t-1）+3（t2-t-1）的值.

【考点】代数式求值.

【分析】第（1）题将所求的代数式先去括号化简为2（5a+3b）+2，再将已知的值5a+3b作为一个整体代入. 第（2）题把（t2-t-1）当作一个整体进行合并同类项，化简为4（t2-t-1），然后再代入求值显然简洁了许多.这两题都渗透了“整体”和“换元”的思想.

解：（1） 2（a+b）+4（2a+b）+2=2（5a+3b）+2，把5a+3b=6代入得：2（5a+3b）+2=2×6+2=14.

（2） 原式=4（t2-t-1）.把t=-代入得：4（t2-t-1）=-1.

以上两小题均采用了整体代入的思想，作为整体思想，对于刚进入中学的七年级学生而言是一个新接触的内容，所以这里是个难点，平时要多练习、多思考、多总结.

3. 感受归纳思想

求代数式的值问题有些没有直接给出代数式，而是只给出一些有规律的数、式子或图形，让我们去求很大数值时的对应值，就需要我们根据具体的数、式或图归纳出它的规律，并用代数式表示，然后再归纳求值.

例3 （2014·湖南娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第2 015个图案由_______个▲组成.

【考点】规律型：图形的变化类，代数式求值.

【分析】仔细观察图形，结合大三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可.

解：观察发现：

第一个图形有3×2-3+1=4（个）三角形；

第二个图形有3×3-3+1=7（个）三角形；

第一个图形有3×4-3+1=10（个）三角形；

…

第n个图形有3（n+1）-3+1=3n+1（个）三角形；

所以第2 015个图形有3×2 015+1=6 046（个）三角形.

故答案为：6 046.

通过这一思维过程感受“从具体到抽象，由特殊到一般”的不完全归纳的思想方法.利用归纳出的规律求出当n=2015时代数式3n+1的值.

4. 感受数形结合的思想

“数形结合”是数学中最重要也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想，本章有很多内容都体现了数形结合的数学思想.

例4 （2014·贵州六盘水）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2 014次输出的结果为（ ）.

A. 1 B. 27 C. 9 D. 1

【考点】代数式求值、图表型.

【分析】根据运算程序进行计算，然后得到规律.从第4次开始，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3，然后解答即可.

解：第1次，×81=27，

第2次，×27=9，

第3次，×9=3，

第4次，×3=1，

第5次，1+2=3，

第6次，×3=1，…

依此类推，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3，∵2014是偶数，∴第2014次输出的结果为1. 故选D.

数形结合思想就是根据题设条件求解目标，将抽象的数学语言和直观的图形联系起来，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，利用图形特点和数的转化去解决问题.它是一种重要的思想方法，本题程序问题体现了这种方法.

5. 感受分类讨论思想

分类讨论思想体现在数学学习的不同阶段，刚开始学习有理数和实数时就涉及分类讨论单位问题.在学习“代数式”中也涉及分类讨论.

例5 某地出租车司机收费标准如下：3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里的部分每公里收费2元（不足1公里以1公里计算）.若乘坐n公里（n为整数），请用代数式表示应付多少车费？

【考点】列代数式.

【分析】根据题意当n小于或等于3时车费始终等于10元，当n大于3时车费为10+2（n-3），本题要进行分类讨论.

解：当0

当n>3时，车费=10+2（n-3）=（2n+4）（元）.

以上是“代数式”这一章的内容中所涉及的部分数学思想，贯穿整章和整套教材的数学思想远不止这些，希望同学们在平时的学习中能善于思考，善于总结，为数学学习的可持续发展奠定基础.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）