由课本习题引发的数学思维风暴

贾芸芸

代数式求值问题是初中代数教学的基本内容之一，它贯穿在整个代数的始终.代数式求值问题形式多样，变化丰富多彩.初一主要涉及两种类型：（1） 字母代值型；（2） 整体代值型.解决与整式的加减相关的代数式求值题，原则是先化简，再求值.解题时，要因题而异，弄清题目中条件与结论之间的关系，然后确定解题方法.

让我们由课本中做一做、议一议的例题说起：

一、 字母代值型

例1 （苏科版七上82页做一做）

求代数式2x3-5x2+x3+9x2-3x2-2的值，其中x=.

下面通过两种解题方法进行剖析与点评.

方法1：直接代入求值.

当x=时，

2x3-5x2+x3+9x2-3x3-2

=2×

3-5×

2+

3+9×

2-3×

3-2

=-++--2=-1.

方法2：先化简，再代入求值.

解：2x3-5x2+x3+9x2-3x3-2

=（2x3+x3-3x3）-（5x2-9x2）-2

=4x2-2.

当x=时，原式=4×

2-2=-1.

【点评】此类型题属于字母代值型. 方法1选择直接代入求值，计算量比较大，容易出错；方法二选择先化简再求值，使得代数式变得简洁，代入求值时计算量小.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项再进行计算.此类型是代数式求值问题中的基本类型，其解题步骤可分为：（1） 化简；（2） 代值；（3） 计算.

当然字母代值问题有时不是直接给出字母的值，而是以其他条件形式出现，但只要认真分析条件，不难从中得到字母的值.

例2 若a，b为实数，且a

-2+b+2=0，求代数式2（a2+ab）-（4a2-ab）的值.

【分析】此题没有给出字母的值，但从条件结构特点看，其中隐含条件知：a-=0，且b+2=0，从而得字母的值.

解：由题意得：a

-=0，

b+2=0，

解之得：a

=，

b=-2.

2（a2+ab）-（4a2-ab）

=2a2+2ab-2a2+ab

=ab

=-.

二、 整体代值型

整体代值法就是当单个字母的值不能或不用求出时，可把已知条件作为一个整体，代入到待求的代数式中去求值的一种方法. 其中又蕴含了一种重要的数学方法——换元法，因此显得非常重要.其步骤为：（1） 将要求值的代数式化为已知整体表达的形式；（2） 整体代值；（3） 计算.

例3 （苏科版七上82页议一议）求代数式5（x-2y）-3（x-2y）+8（x-2y）-4（x-2y）的值，其中x=，y=.

方法1：把x=，y=代入后求值.

方法2：把（x-2y）看成一个整体，化简后求值.

解：设x-2y=a，

原式=5a-3a+8a-4a=6a.

当x=，y=时，a=x-2y=-2×=-，

原式=6a=6×

-=-1.

【点评】本题呈现了两种解题策略，其中方法2的策略是“把一个多项式看成一个字母”，这里是渗透了“整体代换（换元）”的思想方法.

在有些问题中，给出的整体值无法使用，此时，只需把条件稍作改变就能在问题中使用.

例4 已知a-b=5，a-c=1，求代数式：2a-2b+（c-b）2的值.

【分析】此题中虽然已知a-b=5，a-c=1，但要求值的代数式中含有（c-b）2，无法化为已知整体形式.因此必须将条件改变形式.不难看出，只需将条件中的两式相减就可以得到c-b=4.再使用整体代值就可以解决了.

解：∵a-b=5，a-c=1，

∴（a-b）-（a-c）=c-b=4，

∴2a-2b+（c-b）2

=2（a-b）+（c-b）2

=2×5+42

=26.

例5 求（3xy+10y）+[5x-（2xy+2y-3x）]的值，其中xy=2，x+y=3.

【分析】题中只有xy，没有x+y，因此需要对代数式进行去括号、合并同类项化简后再整体代入.

解： （3xy+10y）+[5x-（2xy+2y-3x）]

=3xy+10y+5x-2xy-2y+3x

=xy+8x+8y

=xy+8（x+y）

=2+8×3

=26.

尽管代数式求值问题五花八门，但还是有规律可循的.掌握数学方法才能高效地解决数学问题. 方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题，解题时，要仔细观察，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）