解析难点打开疑团

赵密密

一、 整式加减的实质是去括号、合并同类项，合并同类项是把同类项的系数相加减，而字母和字母的指数保持不变，因此，整式的加减最终要转化为数的加减来解决.

例如：2x+5x-4x=（2+5-4）x，最终只需计算2+5-4. 利用转化思想方法我们能把一个复杂的问题转化为一个简单的、容易解决的问题，把一个陌生的问题转化为一个熟悉的问题.

例1 试说明多项式（4x+5x2+2x3-1）+（x2-2x+x3-4）-（3x3+6x2+2x-9）的值与x无关.

【分析】先按常规进行化简，化简后此多项式的结果不含x，那么就可以说明此多项式的值与x无关.

解：原式=4x+5x2+2x3-1+x2-2x+x3-4-3x3-6x2-2x+9

=（4x-2x-2x）+（5x2+x2-6x2）+（2x3+x3-3x3）+（-1-4+9）

=4.

所以原式的值与x无关.

【点评】多项式的值与多项式中某个（或某些）字母无关，就是该多项式经化简后结果中不含这个（或这些）字母.

二、 有些数学问题，单独求解困难，甚至不能解出.若认真分析题意、仔细观察结构，把将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构而做种种整体处理，就能达到顺利而又简捷地解决问题的目的.

例2 已知A=3a2+6ab-4b2，B=9a2+16ab-8b2，当3a2+8b2的值为11时，求8A-3B.

【分析】先把A、B的值整体代入8A-3B中，再去括号、合并，最后把3a2+8b2的值代入化简后的式子计算即可.

解：8A-3B=8（3a2+6ab-4b2）-3（9a2+16ab-8b2）=-3a2-8b2.

∵3a2+8b2=11，

∴8A-3B=-11.

【点评】此题关键是将A，B的值整体代入（8A-3B）中，再去括号、合并，结果一定要转化成含有（3a2+8b2）的代数式.

例3 已知m2-2mn=1，5mn-3n2=-2，求m2+8mn-6n2的值.

【分析】此题条件和所求代数式中都含有因式m2、mn、n2，可考虑对所求代数式进行变形，构造出m2-2mn、5mn-3n2，将其看成一个整体计算.

解：将多项式变形

m2+8mn-6n2

=m2-2mn+10mn-6n2

=（m2-2mn）+2（5mn-3n2）

=1-4

=-3.

【点评】此题考查了整体代入思想，运用此思想是数学解决问题的重要策略.

三、 含有绝对值符号的化简求值问题，若已知条件涉及数轴，可借助数轴的直观性先确定字母的值或取值范围，然后化简求值.

例4 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简a+b-b-1-a-c-1-c的结果是_______.

【分析】先根据数轴判断出a，b，c的正负情况以及绝对值的大小，然后判断出（a+b），（b-1），（a-c），（1-c）的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可.

解：由图可知，a+b<0，b-1<0，a-c<0，1-c>0，

∴原式=（-a-b）+（b-1）+（a-c）-（1-c）

=-a-b+b-1+a-c-1+c=-2.

【点评】数形结合是数学中一种非常重要的思想，它利用“数”与“形”各自的优点，互相补充，为我们解决问题创造便利.

四、 阅读理解题是近几年常考题之一，解决这类题要反复阅读题目，探索阅读材料中所蕴含的重要思想方法，运用数学思想方法来解决问题.

例5 阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n=？经过研究，这个问题的一般性的结论是：

1+2+3+…+n=n（n+1）.

其中n是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？

观察下面三个特殊的等式

1×2=（1×2×3-0×1×2），

2×3=（2×3×4-1×2×3），

3×4=（3×4×5-2×3×4）.

将这三个等式的两边分别相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20.

读完这段材料，请你思考后回答：

（1） 1×2+2×3+…+100×101；

（2） 1×2+2×3+…+n（n+1）；

（3） 1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）.

【分析】（1） 通过阅读材料发现：

1×2+2×3+…+100×101

=（1×2×3-0×1×2+ 2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…100×101×102-99×100×101）=（100×101×102-0×1×2）=×100×101×102=343 400；

（2） 仿上可得1×2+2×3+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；

（3） 由此规律可以推出：

1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）.

解：（1） 343 400；

（2） n（n+1）（n+2）；

（3） n（n+1）（n+2）（n+3）.

【点评】此题设有固定的模式，注重阅读，从中汲取知识，提高综合素质，遇到这类题方能得心应手.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）