抓住概念本质，灵活解题
2015-09-10王军
王军
《有理数》一章是初中数学中一切运算的基础. 它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据概念、法则、运算律迅速地进行解题，还要善于根据题目条件，将《有理数》一章重点知识相结合，灵活巧妙地运用概念、法则和简捷的算法提高运算能力，提高思维的敏捷性与灵活性. 下面对部分难点内容进行剖析，希望对同学们的学习有所帮助.
一、 负数的产生及其意义
随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际需要，为了满足实际需要，引入了负数，负数是由于实际需要产生的，负数也是客观存在的数.
正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .
例1 一个物体沿着南北两个相反方向运动，如果把向南的方向规定为正，那么走 6 km，走-4.5 km，走0 km的意义各是什么？
【分析】正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向南运动，则负数表示向北运动. 0表示原地不动，0表示正数与负数的分界，在实际问题中也有确定的意义.
解：走6 km表示物体向南走6 km；
走-4.5 km表示物体向北走4.5 km；
走0 km表示物体原地不动.
例2 某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+ 10、-5、0、+8、-3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？
【分析】由题意先求出这五位同学的实际成绩，如简记为+ 10的学生实际成绩为100，然后再求平均成绩.
解：依题意知，五位同学的实际成绩分别为：100、85、90、98、87.
其平均成绩为：×（100+85+90+98+87）=92（分）.
二、 数轴的概念及其意义
数轴概念中包含三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点、正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.
例3 如图所示的数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？
【分析】根据各点在原点的左侧、右侧还是在原点上，来确定数是负数、正数还是 0，根据各点距离原点多少个长度单位，来确定数的值.
解：点A表示数3；点B表示数；
点C表示数0；点D表示数-3；
点E表示数-4.
例4 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”连接起来；
-3，4，-1，2，0，1，-2.
【分析】首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“<”连接起来.
解：这些数在数轴上的表示如图所示 .
它们从小到大的排列为：-3<-2<
-1<0<1<2<4.
三、 两个负有理数的大小比较
两个负有理数的大小比较与其他数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大. 两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 .
例5 利用绝对值比较下列有理数的大小 .
（1） -0.6，-60；
（2） -，-，-.
【分析】比较负数的大小，先求出各数的绝对值，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而小.比较分数大小，一般要化成同分母的分数来比较 .
解：（1） -0.6=0.6，-60=60.
∵0.6<60，∴-0.6>-60.
（2）
-==，
-==，
-==，
∵<<，
∴->->-.
四、 有关绝对值的计算及化简
灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质 .
例6 已知a+2+b-3=0，求a和b的值.
【分析】由绝对值的非负性可知，a+2≥0，b-3≥0，而且只有当a+2和b-3都等于0时，a+2+b-3=0才成立，因为只有0的绝对值等于0，所以a=-2，b=3.
五、 有理数混合运算中应注意的问题
（1） 要注意运算顺序；
（2） 要灵活运用运算定律进行简便运算，不要搞错符号，特别是乘方的符号；
（3） 要灵活进行小数、分数的互化；
（4） 互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为零，特殊运算先行结合.
例8 计算：
（1） （-5）-（+3）+（-9）-（-7）；
（2）
+-
-+
--
+1.
【分析】进行有理数加减混合运算时，应先把加减运算统一成加法运算，再写成省略加号和括号的代数和，最后运用有理数的加法法则及运算律进行计算，能够简化运算的尽量简化运算 .
解：（1） 原式=（-5）+（-3）+（-9）+（+7）
=-5-3-9+7
=（-5-3-9）+7
=-17+7=-10；
（2） 原式=
++
++
-+
-
=+--
=
-+
-
=--=-.
例9 计算：
（1） ÷
-1+×
-12-（0.5-1）3；
（2） ×[2.1×（3.2-6.8）+2.4]-0.48.
【分析】按照有理数混合运算的顺序，有括号的应先计算括号内的算式，即去括号由里向外，但这样计算有时比较麻烦.经过观察本题可以发现：括号外的的分母3是括号内的2.1和2.4的约数，利用乘法分配律先进行计算可以使整个计算简捷明快.
解：（1） 原式=×
-+×-
-
=-++
=；
（2） 原式=0.7×（3.2-6.8）+0.8-0.48
=0.7×（-3.6）+0.8-0.48
=（-2.52-0.48）+0.8=-2.2.
例10 计算：
（1）
1-
-2 ÷
- -
-2 ÷
-；
（2） -0.252÷
-4×（-1）21+
1
+2-3.75×24.
解：（1） 原式=
1
+2 ÷
-
+2
÷
-=
×
-
+2×
-
=
-5+2×
-
=
-×
-
=3；
（2） 原式=-×16×（-1）+1×24+2×24-3.75×24=1+33+56-90=0.
注：第（1）小题先由里及外逐层去掉括号，同时把除法转化为乘法进行运算，第（2）小题应用乘法分配律使运算得以简化.
六、 科学记数法
把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a的整数位数只有一位，这种记数的方法，叫作科学记数法.
例11 用科学记数法表示下列各数：
（1） 270.3；
（2） 3 870 000；
（3） 光的速度约为300 000 000米/秒；
（4） 0.5×9×1 000 000；
（5） 10.
【分析】科学记数法a×10n中，a是小于10且大于或等于1的数，n比原数位的整数位数少1，比如：3 870 000 000是10位数，指数n就是9. 这就是说n等于原数的整数位数减1，而不是比所有的数位和少1. 如179.4=1.794×102，而不是179.4=1.794×103.
解：（1） 270.3=2.703×100=2.703×102.
（2） 3 870 000=3.87×1 000 000=3.87×106.
（3） 300 000 000=3×100 000 000=3×108.
（4） 0.5×9×1 000 000=4.5×106.
（5） 10=1×10.
总之，在学习有理数一章时，要抓住基本概念，掌握运算法则，最重要的是练好基本功，这是一种数学功底，需要经过长期的、刻苦的训练，并且在训练中还要注意动脑筋，寻找解题规律和技巧，不断总结经验.
（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）
