关于滑块与木板的相对运动问题的例析

吴秀萍

摘 要： 滑块与长木板模型的题目，物理变量繁多，各物理量之间相互制约，对学生对各种知识的综合分析应用能力提出较高要求。作者从滑块与长木板模型的基本问题开始，逐步引申到斜面、电磁场等环境中，以题目为例，对这一类型问题的解题思路与方法进行分析与归纳。

关键词： 滑块 长木板 相对运动

滑块与长木板模型为运动力学的基本模型，考查学生对各种相对运动过程中摩擦力相互作用的分析与应用，是高中物理中常遇问题，也是高考复习过程中需要重视的题目类型。该类型题目常引入斜面、电场、磁场等方面因素，各物理量间相互制约，对学生的综合分析应用能力提出更高要求。笔者尝试从滑块与长木板模型的基本情境开始，逐步引申到斜面、电磁场等环境中，对此类型问题进行分析与归纳。

一、只存在重力场的滑块与长木板的相对运动问题

例1：如图1所示，在光滑的水平地面上静止放置一块长度为2米，质量为1kg的木板，在木板左端放置一块质量为1kg的滑块，木板与滑块之间存在动摩擦因数μ=0.2。要使滑块从木板左端向右滑行而不致滑落，求滑块初速度最大值。

图1

解析：由于水平面光滑，滑块与长木板作为整体，其在水平方向上不受外力作用。在光滑水平面上，滑块滑到长木板上后，滑块做匀减速运动，长木板做匀加速运动。当二者速度相等时，二者将以共同的速度在光滑水平面上匀速直线运动，则滑块不会滑落。若滑块初速度较大，滑块滑到长木板右端时，滑块速度比长木板大，则滑落。所以当滑块恰好滑到右端且速度与木板相等时，滑块的初速度为使其不致滑落的最大值。

滑块恰好滑到右端时，滑块相对长木板的位移为L，相对初速度为v=v-v=v，

相对加速度a=a-a=--=-=-=-2μg

∵L===

∴V==4m/s。

点评：只存在重力场的环境是基本类型。处于重力场水平面上，无外力作用，滑块与长木块水平方向上只受摩擦力的作用，其运动状态也主要受摩擦力的影响。竖直方向上，只有重力与各个接触面之间的压力，不会发生变化。所以相对滑动时，摩擦力不会发生大小变化，直到速度相同。因此只需要对相对运动与摩擦力的作出正确的方向判断，即可得出滑块与长木块的运动状态。

例2：如图2所示，质量为1kg的长木板停在底端设有挡板的固定的光滑斜面上，斜面倾角为37°。质量为5kg的滑块以沿斜面方向7.2m/s的初速度，从长木板底端向上运动。已知滑块与长木板之间动摩擦因素为0.3，在整个过程中，滑块始终在长木板上，求滑块沿斜面向上运动的最远距离。（重力加速度为g=10m/s）

图2

解析：初始滑块相对木板做沿斜面向上的相对运动，受来自木板的摩擦力沿斜面向下，滑块做匀减速运动。长木板受到摩擦力沿斜面向上，计算得摩擦力大于长木板所受重力沿斜面的分力，所以长木板沿斜面向上做匀加速直接运动。当二者速度相同后，物块与木板将以相同的速度与加速度一起向上做匀减速直线运动，直到二者速度减少到零时，物块运动最远。

设滑块的质量m，刚开始时匀减速运动的加速度大小为

a==gsinθ+μgcosθ=8.4m/s

设长木板的质量为m，刚开始时做匀加速运动的加速度大小为

a==6m/s

设经过t时间，二者的速度相等时

v=v-at=at？圯t=0.5s？摇？摇v=3m/s

当二者的速度相等后，滑块与长木板的加速度相等a=g·sinθ=6m/s。

所以滑块沿斜面向上运动的最远距离为s=t+=3.3m。

点评：当系统处于斜面，影响运动状态的，除摩擦力外还必须考虑重力沿斜面分力的作用。重力分力是不变的，其对滑块与长木板产生的加速度也是相等的。所以当斜面光滑时，滑块与长木板速度相等即相对静止后，摩擦力消失，在斜面方向上，二者只受重力分力作用，以相同的速度与加速度进行运动。

例3：一长木板在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于地面静止的滑块轻放到长木板上，以后长木板运动的速度-时间图像如图3所示。已知滑块与长木板质量相同，滑块与长木板间、长木板与地面间均有摩擦，滑块与长木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且木板足够长。（取重力加速度g=10m/s）

求：（1）滑块与长木板间μ和长木板与地面间的动摩擦因数μ；

（2）从t=0时刻开始到滑块与长木板都静止时，滑块相对于长木板的位移的大小。

图3

解析：（1）从t=0时开始，以长木板为参照物，滑块相对长木板向左方向运动，所以滑块受到的滑动摩擦力方向向右，使滑块加速；长木板受到滑块和地面的摩擦力，使木板减速，此过程一直持续到物块和木板具有共同速度为止，所以在图像折点处，即0.5s时，物块和木板速度相等。设从0—0.5s时间内，滑块加速度为a，长木板加速度为a，则

对于滑块：a===2m/s

由牛顿第二定律得：μmg=ma？圯μ===0.2

对于长木板：a=||=||=8m/s

由牛顿第二定律得：μmg+μ（mg+mg）=ma？圯μ=0.3

（2）当二者速度相等后，假设滑块与长木板一起做匀减速运动，对于滑块和长木板这个系统进行受力分析得出系统共同加速度：μ·2mg=2ma？圯a=μg=3m/s

滑块受到静摩擦力为：f=ma=3m（N）

又因为滑块受到的最大静摩擦力为：f=μmg=2m（N）

∵滑块受到的f>f

∴假设不成立

二者仍发生相对滑动，且以不同加速度做匀减速运动，设滑块和长木板的加速度分别为a′和a′，可得

μmg=ma′？圯a′=a=2m/s

μ·2mg-μmg=ma′？圯a′=4m/s

则滑块的v-t图像如图3-1中虚线所示。可推知，从t=0到停止，滑块和长木板的运动距离分别为

图3-1

s=×t×2=×0.5×2=0.5（m）

s=×t×=×0.5×=1.625（m）

∴s=|s-s|=1.125（m）

点评：若水平地面粗糙，滑块与长木板速度相等后，整个系统在水平方向上仍受外力即地面摩擦力作用。此时需用假设法判断是否以相同加速度进行匀减速运动，或是以不同的加速度做匀减速运动。

二、匀强电场作用下滑块与长木板的相对运动问题

例4：如图所示，在电场强度为E=1×10N/C的水平向右的匀强电场中，粗糙水平面上静止放置着一质量为M=0.2kg的长木板。另一带正电荷滑块以初速度v=8m/s滑上长木板，滑块质量为m=0.1kg，带电量为q=2×10C。已知长木板与水平面间动摩擦因数μ=0.1，滑块与长木板间动摩擦因数μ=0.5，重力加速度为g=10m/s。求：

图4

（1）开始时滑块和长木板的加速度大小分别为多少？

（2）滑块最后停止时，距长木板左端的距离为多少？

解析：（1）滑块与长木板之间的滑动摩擦力f=μ·mg=0.5N，长木板与水平面之间滑动摩擦力f=μ（m+M）g=0.3N，电场力qE=0.2N。

滑块刚滑上长木板时，相对长木板向右运动，滑块受到长木板的动摩擦力向左，长木板受滑块摩擦力向右。

设此时长木板与滑块的加速度分别为a和a，可得：f–qE=ma，f–f=ma，得a=3m/s，a=1m/s。

（2）设二者经过t时间速度相等，此时速度为v，则v-at=at=v，得t=2s，v=2m/s。

这段时间内滑块位移：s=·t=×2=10（m）

长木板位移：s=·t=×2=2（m）

当长木板与滑块速度相等，假设二者以相同速度与加速度一起向右做匀减速运动，对滑块和长木板系统的水平受力分析，可得共同的加速度为

F-qE=（m+M）a？圯a=（m/s）

此时滑块受到的静摩擦力为f′：f′-qE=ma？圯f′=（N）

∵f′

∴假设成立

在此之后，滑块与长木板一起向右减速运动。滑块最后停止时，距长木板左端的距离为Δs=s–s=8m。

点评：在匀强电场作用下，带电物体除受到重力压力摩擦力的作用外，还受大小方向不变的电场力作用。若电场方向是水平的，电场力对摩擦力没有直接影响，则只需将其作为一个恒力考虑，其他方面与没有电场力作用的情况相同。若电场方向不是水平，则需要考虑电场力在竖直方向的分力对摩擦力的影响。

三、匀强磁场作用下滑块与长木板的相对运动问题

例5：如图5所示，在垂直于纸面向里的匀强磁场中，将一带负电荷的滑块A放置在不带电的绝缘小车B上，初始时二者均处于静止状态。在t=0时刻小车B受到一较小的水平向左恒力F推动。已知地面光滑，小车B足够长，A、B接触面粗糙，在运动过程中A所带电荷量保持不变。图5-乙中关于A、B的v-t图像大致正确的是（？摇？摇？摇？摇）

图5

解析：滑块A在水平方向上只受摩擦力作用，滑块A与小车B间压力等于重力与竖直向上的洛伦兹力的合力，摩擦力受其影响而变化；小车B在水平方向上受滑块A的摩擦力与恒力F的共同作用。

初始二者速度小，洛伦兹力小，二者一起做匀加速直线运动，共同加速度a=，滑块受静摩擦力f=m·a=。

随运动进行，A受到方向向上的洛伦兹力逐渐增大，A对B的压力逐渐减小，使得A、B间的最大静摩擦力减小，当f

点评：在匀强磁场作用下，带电物体在运动过程中受垂直于运动方向的洛伦兹力影响。当磁场方向垂直于纸面，洛伦兹力方向是竖直的，与重力共同影响物体之间的压力，从而影响摩擦力。需注意速度的变化引起洛伦兹力变化，从而影响摩擦力，应进行动态分析。

小结：滑块与长木板相对运动的问题，在认真审题和进行初步的受力分析后，需要理清以下三个问题：1.竖直于运动方向的力的作用，尤其是压力变化对摩擦力影响；2.平行于运动方向的合力对运动状态的作用，尤其注意外力在水平方向分力，以及摩擦力的变化；3.运动状态发生变化的临界点时，物体受力情况与加速度的变化，如滑块与木板速度相同时的力的变化。理清这三个问题，即可将整个运动过程清晰地呈现出来，从而找出解题思路。