建构方程模型 巧解实际问题

陈小红

“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题.因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解.”

——法国数学家 笛卡儿

一元一次方程是最简单、最基本的方程.它在日常生活中有着极其广泛的应用，是人们解决实际问题常用的方法，同时也是中考命题的一个热点.列一元一次方程解应用题的关键是把实际问题模型化，寻求问题中隐藏的相等关系，再列出方程，突显数学建模思想和方程思想.

问题1：教育储蓄问题

师：我们大家都是七年级同学，六年后将要走进大学校门，假设上大学需要5000元学费，你的爸爸妈妈现在就参加教育储蓄. 下面有两种储蓄方式：

（1） 先存一个3年期的，年利率为2.7%，3年后将本息和自动转存一个3年期；

（2） 直接存入一个6年期的，年利率为2.88%.

你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？

1. 独立思考阶段

独立思考、探究，结合自己已有知识，寻求新的问题解决办法.

2. 小组讨论交流阶段

有了自己的想法后，可与小组内的同学展开交流，学数学的过程是在头脑中构建数学认知结构的过程，用自身的创造活动去感受数学是做出来的.

3. 成果展示阶段

生1：（板书）设开始存入x元.

若按第一种方式，则1.081x（1+2.7%×3）=5 000，1.168 561x=5 000，x≈4 279.

师：谈谈你的想法.

生1：我是这样想的：

第一个3年期，本金为x元，利息为x×2.7%×3，本息和为x（1+2.7%×3）=1.081x.

第二个3年期，本金为1.081x，利息为1.081x×2.7%×3，本息和要达到5 000元.

就是说，开始大约存入4 280元，3年期满后将本息和再存一个3年期，6年后能达到5 000元.

生2：若按第二种储蓄方式，则：x（1+2.88%×6）=5 000，x=4 263.如果直接存一个6年期的，开始只需存入4 263元.

师：通过学习你们选择哪一种储蓄方式呢？

生：第二种更合算.

4. 归纳总结阶段

师：通过探究学习，你有什么收获？

生：我了解了有关储蓄的一些知识，理解了利息、利息税、利率.

生：我还体会到，我们要有一定的经济头脑，要学会理财，用最少的钱发挥最大的效益.

问题2：打折销售问题

店主站在一张桌子后，桌子上放着两件衣服，身后立着一块醒目的牌子：“放血大处理”，“血”字是红色的.

店主喊：“大家过来看一看，瞧一瞧，走过的、路过的不要错过，本店不计成本挥泪大甩卖，所有服装两折处理，每件只卖48元……”

一工商人员上场对店主说：“你这是违法行为，请把牌子收起来，不能这么喊. ”

店主：“我确实是两折处理呀！”

工商人员：“你把衣服的成本价提高了多少标价？”

店主：“我提高了500%以后标价的.”

工商人员：“同学们，他将每件衣服按成本价提高了500%进行标价，再按两折处理，每件衣服卖48元，你们算一算，他到底是赚还是亏？”

1. 猜测：小品中的店主是赚是亏？

2. 讨论

①如果一件衣服的成本价为100元，按成本价提高500%标价，标价是多少？再按标价打两折销售，实际售价是多少？

②假设一件衣服的成本价为x元，按成本价提高500%标价，标价是多少？再按标价打两折销售，实际售价是多少？

③你所列出的实际售价与小品中的商家的售价有什么关系？

④根据这个等量关系列出方程，并解出方程；验证你的猜测是否正确.

3. 引申

如果不知道小品中店主的售价是多少，但知道他每件衣服赚了20元钱，其他条件不变，那么每件衣服的成本是多少元？

列方程：x（1+500%）×20%-x=20.

5. 提问

在现实生活中，你见过哪些打折销售活动？是否所有的“打折销售”都存在欺诈行为？你认为哪些存在欺诈行为？

6. 反馈

①一件商品按成本价提高30%后标价，又以8折销售，售价为260元，这件商品的成本价是多少？

②某家电商场将某种品牌的彩电按成本价提高了20%标价，谁知市场竞争激烈，商场只好按标价的九折销售，结果每台彩电只获利80元.该品牌的家电成本价与实际售价各是多少？

数学建模能力的培养不在于某堂课或某几堂课，而应贯穿于学生的整个学习过程，要使学生能在学习数学的过程中自觉地去寻找解决问题的一般方法，真正提高数学能力与学习数学的能力. 数学应用与数学建模，其目的不是为了扩充学的课外知识，也不是为解决几个具体问题进行操作，而是要培养学生的意识，学会方法，让学生自己去探索、研究、创新，从而提高学生解决问题的能力，让数学进入生活，让生活走进数学.

（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）