实际问题与一元一次方程

陈娟

一、 探究目标

1. 掌握把实际问题转化为数学问题，建立数学模型的解题方法，同时能够对所求出的方程的解进行分析判断；

2. 通过探究球赛积分表问题，渗透数学建模思想；

3. 经历数学建模的过程，提高处理图表信息、分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识，认识到数学的科学价值和应用价值.

二、 探究过程设计

问题1 通过观察你能在这张表中获取到什么信息（能否利用表格信息得知积分规则）？

由表中最后一行可以看出，负一场积1分，再利用第一行的数据可以算出胜一场积2分. （如果不能顺利算出积分规则，应注意最后一行的信息能传递给我们什么信息，怎样利用其他行所给数据，根据等量关系可以最终算出积分规则吗？）

【意图】引导学生运用表格信息帮助自己解决问题，合理梳理表格中所隐含的信息，从而找到对自己有价值的信息，进而使问题得解.

用不同行的数据计算，所得结果相同吗？（相同）. 那么这个结果是可以通过验证符合事实的.

小结：通过钢铁队的积分情况，很明显地看出负一场的积分，又通过其他任意一队的积分情况可以算出胜一场的积分，由此看出，我们要善于发现表格的特殊之处所传达的特殊的或重要的信息.

问题2 我们通过观察得出了积分规则，请同学们继续观察，能否写出总积分与胜负场数之间的关系？

一个队的总积分=胜1场得分×胜场数+负1场得分×负场数（得到需要的重要等量关系，它是后续问题的研究基础）.

小结：由这个等量关系我们看出，总积分与胜、负场数有着紧密的联系，同时只要胜场数确定了，那么负场数通过（14-m）的关系也确定了，所以也可以说总积分与胜场数有着紧密的关系.

【意图】由生活中的常识性问题抽象出等量关系，避免学生感到数学建模的抽象性，同时渗透应用数学的意识，提高应用能力，这种处理方法也符合7年级学生的认知，使学生更易于接受，降低了数学抽象性的难度.

问题3 若一个队胜了m场，能否用含m的式子表示总积分？

解：一个队胜了m场，则负（14-m）场，那么，总积分=2m+（14-m）=m+14.

【意图】完成课本第一问，也是本节课的关键一问，实现了第一个难点的突破，同时第一问的思考内容与第二问紧密相关，顺利解决第一问是完成第二问的保障.

问题4 如果一个队的总积分是19分，你能算出它胜了多少场吗？（5场）

小结：到此我们已经可以根据胜场数算出一个队的总积分了，当然我们也可以通过一个队的总积分算出它的胜场数，在这个等量关系中有两个量（总积分、胜场数）是不确定的，但是当我们给定其中一个量的值时，比如总积分为19，那么等式就变为19=m+14，那么m作为我们要求的未知量，这个等式就是我们所学的一元一次方程，m有唯一解. 反过来，当我们胜场数是确定的，那么总积分也是唯一解.

问题5 某队的胜场积分能等于它的负场积分吗？请列式说明. （如果学生有困难，引导学生思考题目中是否隐含了等量关系？利用这个等量关系可以列出方程吗？）

（小组讨论，代表发言，使用学案，展示学案）

解：不能，设一个队胜了x场，则负了（14-x）场.

列方程得2x=（14-x），解得x=14/3 .

因为x（所胜场数）的值必须是整数，所以所得解不符合实际意义，由此判定没有某队的胜场积分能等于它的负场积分.

小结：用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.

【意图】要用反证法检验方程的结果是否符合实际，这是一种常用数学方法

小结：1. 生活中数据信息的传递形式是多样的.

2. 解决有关表格问题，首先根据表格中给出的有关信息，找出数量间的关系，再运用数学知识解决有关问题.

3. 利用方程不仅可以求得实际问题的具体数值，还可以进行推理判断.

4. 运用方程解决实际问题，要检验方程的解是否符合实际意义.

三、 拓展与提高

问题6 请大家思考如果表格中钢铁队的积分情况没有给出（即，没有最后一行信息），你还能求出积分规则吗？（积分规则涉及两个未知量，考虑设两个未知数. ）

【分析】可以设胜一场积x分，负一场积y分. 设两个未知数时我们需要列几个方程？（两个）你能根据表格数据列出两个方程吗？

这是个方程组，是几元几次的呢？（二元一次方程组）解法我们以后再讲.

练习：足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共比赛14场，现已比赛了8场，输了一场，得17分.请问：

（1） 前8场比赛，这支足球队共胜了多少场？

（2） 这支球队踢满14场比赛最高能得多少分？

（3） 通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标.那么，在后面的6场比赛中，这支球队至少还要胜几场，才能达到预期目标？

（2） 35分.

后面6场全胜得分最高，所以：17+6×3=35.

（3） 3场.

小结：这样我们就知道了在解决实际问题时不但可以用一元一次方程的知识，还可以用方程组，甚至还有其他的方法，让我们拭目以待吧！

（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）