由一道考题引发的思考

2015-09-10蓝雪敏

教学月刊·小学数学 2015年12期

蓝雪敏

一、“好题坏题”引观点之争

数学试卷题，作为考查学生掌握数学知识和思想方法、思维的灵活性的重要手段，对教师的教和学生的学具有重要的示范性和导向性作用。平时，大多数教师都是根据教材内容而制定相应的教学预案，围绕课本习题展开，渗透相关的数学思想方法。然而，一次考试的一道选择题，引起了笔者对教材的重新思考。2014年衢州市六年级下册期末试卷中有一道选择题：见图1，在给定的正方形点子图上，找一点D，使ABCD是一个梯形，D点共有（）种不同的选法。

A.2 B.3 C.4 D.5

图2中①至⑤为5种正确答案，⑥是平行四边形。

考试后统计正确率只有20%（参加考试360人，错误288人），事后访谈学生解答错误原因：

1.读不懂题意20%，计57人。

2.只考虑到以AB边为上底，没有考虑到BC也可以作为上底70%，计202人。

3.说题出错了，一共有6种，没有考虑到⑥是平行四边形10%，计29人。

事后，教师们提出了自己的看法：

观点一：此题太难，既要考虑已知边AB和BC都可以作为梯形上底，又要排除其中平行四边形这一特例，学生理解困难，要求过高。

观点二：这是一道难得一见的好题，既综合了梯形和平行四边形的特征，又考查了学生的空间观念和灵活解题能力。

二、“透过现象”析背后之因

这道选择题属于“空间与图形”领域的知识，重在考查学生的空间观念。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：在空间与图形的教学中要“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。”面对20%的得分率，如何在“空间与图形”的教学中“把握知识本质特征，培养空间观念”引起了笔者的深刻反思。

（一）教材层面

北师大版四年级下册教材第29页“四边形分类”这一内容中先让学生“分一分”，直接告诉学生①③和⑥为一类（平行四边形），②④和⑦为一类（梯形），⑤和⑧为一类（一般四边形），接着引导学生想一想“智慧老人为什么这样分”，得出平行四边形和梯形的概念，然后在比较中引出长方形和正方形都是特殊的平行四边形。这样安排的好处是充分考虑到四边形之间的联系，容易在大量的知识冲突中辨清图形之间的联系与区别，但缺点是学生对于平行四边形和梯形的特征都是通过观察获得的，梯形只有一组对边平行的特征的建立比较肤浅，学生建立的表象过于单一。

（二）教师层面

在教学中，部分教师仍然把“掌握梯形的特征”作为教学的主要任务，强调“只有一组对边平行”，却忽视“为什么”，把发展空间观念当成教学的“附属”。很多教师都认为，图3中的③④和⑤位置发生了变化是学生最难理解的，⑥符合梯形的特征，学生不难理解。事实果真如此吗？

（三）学生层面

在四年级教学梯形前，笔者以上图做了前测，统计结果如下：

通过访谈，学生认为：图6和生活中见过的梯形（堤坝、木梯）的样子不像，图7很像生活中见过的梯形。可见学生对于梯形的认知仍停留在生活经验层面，导致认知的偏差。

以上种种原因，再碰到前文的题型灵活多变，得分率低也就不足为奇了。

三、“正本清源”寻有效之方

基于教材、教师和学生的真实情况，对于“梯形的认识”一课有必要进行整合调整，笔者认为可设计“起→承→引→合”的探究过程，由浅入深，课始重在明晰梯形“只有一组对边平行的四边形”这一本质特征；课中由静到动，多角度各位置认识各类梯形，让静态的知识动起来。这样方能有效培养学生空间观念。

（一）起——巧妙链接，激活经验

“起”则为开端。在这里是指巧妙链接，激活经验，导入新课。

由于学生已经掌握了平行四边形是“两组对边分别平行的四边形”这一本质特征，因此，课始借助回忆平行四边形的特征，用课件出示三角形和平行四边形重叠而成的图形引入新知（图4），激活学生已有的生活经验，有效导入新课，为后续的教学奠定基础。

1.找准异同，合理组合

梯形与平行四边形的本质区别在于，前者只有一组对边平行且另外一组对边不平行，后者有两组对边分别平行。在教材的安排中，学生对于梯形的特征都是通过观察获得的，表象建立单一，教师往往只是强调概念中的“只有一组对边平行”，却忽视“为什么”。运用平行四边形和三角形重叠成梯形，梯形的本质特征跃然纸上，为新知的建构搭造了平台。

2.基于教材，匠心独具

在平行四边形和三角形的重叠中引出梯形，学生发现这个四边形的一组对边是原来平行四边形的一组对边，所以它们是互相平行的，而另一组对边是原来三角形的两条边，它们是不平行的。这样的安排匠心独具，创造性使用教材，学生既知其然，又知其所以然，学得轻松自然。

（二）承——妙引体验，逐步感悟

“承”则为承接。在这里旨在承接导入的情境，进行灵活变换，解决相似的问题。在这个过程中，要循序渐进，以免学生的思维出现断层；同时，为后续空间观念的培养作铺垫。

1.简单变化，初步感知

动画演示图5两种组合：重叠部分是梯形吗？与平行四边形有什么不同？明确这两个梯形上下对边平行，左右对边延长线相交，初步认识“只有一组对边平行的四边形是梯形”的本质特征。

2.改变位置，理解本质

在梯形的判断练习中，认识像“”这类梯形对于学生来说是个难点，因此，在初步感知梯形特征后，改变摆放位置，出示图6：重叠部分是梯形吗？为什么？在三角形与平行四边形的重叠图中认识梯形，形象地揭示了梯形“一组对边平行，另一组对边不平行”的本质特征，点出了梯形与平行四边形的联系与区别。科学地诠释了梯形的意义，学生一目了然，印象深刻，梯形的特征自然深深地印在脑海中。为了防止思维定势，既有常规图，又有变化图，普通梯形、直角梯形和等腰梯形一一呈现，为下面的学习埋下伏笔。

3.联系生活，加深印象

在理解梯形本质特征后，与生活实际相联系，引导学生从“形”的角度观察周围的事物，发现梯形就在我们生活中，加深对梯形特征的认识，体会到数学与生活的密切联系：生活中你见到过哪些梯形？你能找出图7中的梯形吗？引导学生数一数木梯中梯形的个数，不着痕迹地渗透有序思考、合理迁移的数学方法。

（三）引——引学结合，深化新知

“引”则为引导。在“起”“承”的基础上，进行有效的“引”，让学生主动参与是关键，运用梯形本质特征学习新知，进一步培养学生的空间观念。

1.火眼金睛，辨析明理

学生利用刚刚获取的知识，在四边形中寻找梯形：图8中的图形哪些是梯形？哪些不是？为什么？在观察、思考、质疑中巩固对梯形的认识，培养分析能力和综合能力，在辩论中结合正反两方面的例子加以说明，不断完善对梯形的认识，在比较中加深对梯形本质特征的印象。

2.动手操作，突破难点

课件隐去上图中图④和图⑧：梯形有什么相同点呢？（梯形都有一组对边平行，另一组对边不平行），在交流、讨论中认识底和腰；引导学生认识梯形的高，找一找梯形的高后独立画高，在比较中明晰高的正确画法；课件呈现三角尺在上下底之间来回移动：梯形的高有几条？为什么？通过动手操作和比较，突破认识高和画高难点，使抽象的知识形象化。

3.挑战自我，一刀成形

根据梯形的特征，利用一张长方形纸，一刀剪出一个梯形：这个梯形有什么特征？这是一道开放题：这一刀不是任意的一刀，必须破坏一组对边平行，第一种剪出直角梯形，特别是第二种剪法需要将长方形对折一次才能剪出一个等腰梯形。这一操作活动，增加了挑战性！学生根据“梯形只有一组对边平行”进行推理，在操作、想象、推理中，学生在长方形和梯形间来回“穿梭”，既巩固了梯形的概念，又巧妙地引出了直角梯形、等腰梯形，在活动中自然发现了两种梯形的特征（直角梯形有两个角是直角；等腰梯形两腰相等，底角相等，是轴对称图形），认知体系逐步建构和完善，空间观念得以培养。

（四）合——活用练习，内化思想

“合”则为结合。在这里是指结合前后知识，内化本质特征，进一步培养空间观念。空间观念的培养需要一个循序渐进、由浅入深的过程。在这一过程中，能结合课堂内外，结合前后知识，不断“拨动”学生的思维，就可让学生的学习得以不断地积累、感悟、明朗，直到主动应用。

1.分类建构，形成体系

学生形成的空间观念应该是“整体的、深刻的、概括的”，即一旦需要提取这一观念就应该是鲜明的形象，而且是总体、简约地出现。学生回忆所学四边形后，试着把图10中的四边形分分类，学生把所学过的平面图形利用不同的标准分类，既利用了梯形与其他四边形的区别进一步巩固了梯形的特征，又将所学过的平面图形的知识进行了整理，建构了平面图形的知识体系。这一过程进一步促进了整体的、深刻的、概括的空间观念的形成。

2.推陈出新，前后纵连

新授课的练习既要紧扣本课重点，又要推陈出新，带有一定的挑战性，同时兼顾生动有趣，易于理解。先后呈现：直线a与直线b互相平行，下图中有几个梯形？把它们指出来（图11①）（图11①中共有梯形ABFE、梯形BCGF、梯形ACGE、梯形BDGF四个和一个平行四边形ADGE）；几何画板演示：BF不停地移动，可以看到哪些图形？（图11②）（设计图11②的目的在于复习已学多边形，图形虽然不同，但每个图形的高都是一样的）两题呈现了已学多边形，需要学生擦亮双眼、汇报分享、集体共议，使学生深刻认识所学多边形的本质特征，沟通几种多边形之间的内在联系，从而建立科学的认知结构，使得空间观念的建立由静态走向动态。