极限思想在小学数学教学中的渗透

俞丹锋

摘 要： 极限思想是进行微积分学习的敲门砖，向学生渗透极限思想在小学阶段就显得尤为重要，但是受学生年龄的限制和知识掌握的制约，初步让学生了解极限思想必须充分考虑学生的认知情况，重视直观教学，让学生充分感知，在实践中潜移默化地渗透极限思想。

关键词： 极限思想 逼近 渗透 小学数学教学

极限思想是众多数学思想之一，是发展数学思维、培养数学能力的基础。近代的极限思想的发展是与微积分有着重要联系，为了给学生后续数学课程打下伏笔，因此小学阶段给学生渗透极限思想就显得尤为重要。

如何在小学数学学习中渗透极限思想呢？极限思想是建立在动态的基础变量上，既举足轻重又颇具难度。简单地说就是用极限逼近准确，在有限动态的过程中研究无限，在“不变”的基础上理解“变”，从“曲线形”中转化出“直线形”，用近似的方式理解精确。

在小学阶段，向学生渗透极限思想就必须让学生理解“无限”和“逼近”这两个概念。但是在教学中发现部分教师对于极限没有一个明确的认识，他们片面地认为极限就是“无限”。例如：直线和射线都可以无限延伸，自然数、小数和分数的个数是无限的，等等，这些教师将这些知识点错误地理解都蕴含着极限的思想，这些看法是不准确的。微积分的极限理论的核心是，如果一个函数或数列无限地接近于一个常数，我们就说这个常数称作这个函数或数列的极限，这是极限概念的定性的描述。因此直线是无限延伸等知识点只是一个无限的思想，而不是极限思想。受小学生年龄限制及对事物认知方面制约，理解极限思想这种抽象的思维存在难度，但不能因为困难就弱化它，反而必须抓住一切时机向学生渗透极限思想，让学生充分感知，了解极限思想，现在就小学数学教学渗透极限思想谈几点策略。

一、在直观感知中渗透极限思想

《义务教育课程标准（2011年版）》明确指出“要重视直观，处理好直观与抽象的关系”[1]。数学是一门抽象的学科，极限思想又是一种高度抽象的数学思想，因此在教学中要借助感性认识才能实现对数学知识的掌握，采用直观化的教学手段，才能为学生抽象逻辑思维的发展打下坚实的基础。

现代教育时常借助多媒体的使用，它可以调动学生利用多种感官充分感知，引导学生思考，在思考中发现规律，让抽象的极限思想具体化、形象化、直观化，降低学生理解的难度。

在人教版六年级上册《圆的面积》一课时中，通过现代多媒体的应用，直观展现把圆进行2等分，4等分的过程，在等分的过程中，教师引导学生观察，等分的一小块图形像什么？学生根据已有的知识经验，很自然地想到像一个三角形，只是一条边是完全弯曲的。教师继续追问：有没有什么办法让这条弯曲的线变得更直些？学生自然而然想到把圆更加细分，等分得越多，得到小扇形的弧度就越小，進而更加逼近与直边。教师立刻根据学生的想法，用多媒体课件展示出把一个圆进行8等分、16等分、32等分、64等分的过程，学生能更直观充分地感知等分后的扇形越来越近似三角形，得出把圆转化为三角形，再拼成的长方形，求出圆的面积。

又如，人教版义务教育教科书六年级下册《圆柱的体积》一课，把圆柱体底面的圆分成若干相等的扇形，按扇形的等分线沿高线分割开，再拼一个近似的长方体，通过多媒体直观展示，让学生直观感受到当底面切分的扇形越多，拼接出的图形就越加逼近于长方体，通过多媒体flash的动态展示，让学生直观认识到极限思想中的“化曲为直”及“逼近”这两个重要的特征，教师抓住了实质，将复杂的内容进行精简，讲得明白易懂。不仅在教学中潜移默化地渗透了极限思想，还为学生将来的学习做好了铺垫，未来学生就可能创造出属于自己的东西。

二、在动手实践操作中渗透极限思想

《义务教育课程标准（2011年版）》提出：数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用过程中，是数学知识和方法在更高层次的抽象和概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流、逐步感悟数学思想。学生感知极限思想，也离不开学生参与教学活动中，如果仅仅靠教师单方面填鸭式的教学，学生必然无法真正感悟到数学思想，因此学生必须亲自参加教学活动实践，通过做一做、摆一摆等数学活动，在操作中感悟极限思想。

在新人教版六年级上册《数与形》中有一道例题：■+■+■+■+■+■+…，这道例题实际上是等比数列求和的内容，如果在高中阶段，即可通过等比数列公式求解，当q=■时，S■=■=■=1-（■）■，■+■+■+■+■+■+…=■（1-（■）■）=1。但是在小学阶段，学生大多数知识的获知都是通过直观感受才获取，因此在介绍本题求法之前，建议教师先化繁为简，将无限个的加数变为有限个，如■+■+■+■+■+■。让学生用自己的方法先算一算这几个分数的和，学生一开始用之前学过通分的方法求和，算完后有些学生就立刻得出猜想分母减1等于分子。这时候教师引导学生，能否借助直观图形验证自己的猜想。让学生在事先准备好的一个几何平面图形（如圆形、正方形等）上涂阴影，先涂出■，然后涂出■，接着在小组合作中分别在图形上空白位置标出■，■，■，学生通过自己动手实践，直观感受到阴影部分越来越逼近于整个图形。在验证了想法后，再对比通分和用逆向思维的规律解决问题的两种方法后，教师适当提问：当分数加到无限个的时候，会怎么样？有了前面的铺垫，学生就能理解这个等比数列的求和会逼近、甚至会填满整个图形，这时候教师出示得数等于1时，学生就不会感觉唐突或难以接受，教师要把握好近似与精确这两者对立统一的关系，让学生理解它们在一定条件下是可以互相转化的；在教学中不仅仅通过圆片涂阴影法，还可以结合线段图，在长度是1的线段上，画出■，■，■…，学生在画图过程中，发现画出的线段越来越接近1，在画图操作中渐渐体会到极限的思想，很好地渗透了数学思想。

总之，任何一种数学方法和思想的掌握与灵活应用，都不是一蹴而就的。教师应该重视学生的认知规律和已有的学习经验，通过小组交流、同桌合作，让学生成为学习的共同体，通过数形结合等直观方法，渗透极限思想，为今后建构新的数学知识体系夯实基础，为今后学习微积分做好了铺垫。

参考文献：

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京师范大学出版社，2012.