高中数学分类讨论思想的应用与教学

黄祖铭

参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，含参问题是近年来高考重点考查的热点问题之一，特别在2014年福建省各地市的质检中属于高频考点，也是学生的一大难点.以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的问题可分为两种类型.一种类型的问题是已知参数范围，探索命题结论；另一种类型的问题是已知命题结论，探索参数范围.本文结合2014年福建省各地市质检，就分类讨论问题类型一的解题思想方法作探讨，不妥之处，敬请指正.

类型：已知参数范围，探索命题结论，根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论.

解决该类型的参数问题，通常要用“分类讨论”的方法，即根据问题的条件和所涉及的概念，运用的定理、公式、性质及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，探求出各自的结果，最后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的.它实际上是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法.

一、根据运算的需要确定分类标准

例1：解关于x的不等式组log■2x<2log■x（a-1）x■0且a≠1.

解，由于不等式中均含有参数a，其解的状况均取决于a>1还是a<1，因此1为标准进行分类，

（Ⅰ）当0

（Ⅱ）当a>1时，可解得：x>20

（1）当1

（2）当a>3时，解集为（2，■）.

综上所述：当03时，解集为（2，■）.

二、根据参数的范围确定分类标准

例2：【2014年宁德质检题】20.已知数列{a■}满足a■=t>1，a■=■a■.函数f（x）=ln（1+x）+mx■-x（m∈[0，■]），试讨论函数f（x）的单调性.

分析：本例涉及函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.对于含参的单调性问题，参数的不同取值对函数的单调性有着不同的影响，关键是如何分类，主要结合参数取值范围中寻找分类的临界点，如本题的临界点就是m=0，m=■，以及对分子为0的取值进行分类讨论.

解：f′（x）=■+2mx-1=■=■（x>-1），

当m=0时，f′（x）=■，当-10；当x>0时，f′（x）<0，

∴函数f（x）的单调增区间是（-1，0），减区间是（0，+∞）；

当0

当00，当-10；

当0

X>-1+■时，f′（x）>0，

∴函数f（x）的单调增区间是（-1，0）和（-1+■，+∞），减区间是（0，-1+■）；

当m=■时，x■=x■=0，f′（x）=■≥0，

∴函数f（x）的单调增区间是（-1，+∞），无减区间.（7分）

综上所述，当m=0时，函数f（x）的单调增区间是（-1，0），减区间是（0，+∞）；

当0

当m=■时，函数f（x）的单调增区间是（-1，+∞），无减区间.

三、根据参数存在性确定标准

例3：【2014年宁德质检题】19.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C■上的任意一点到点A（-1，0），B（1，0）的距离之和为2■.

（Ⅰ）求曲线C■的方程；

（Ⅱ）设椭圆C■：x■+■=1，若斜率为k的直线OM交椭圆C■于点M，垂直于OM的直线ON交曲线C■于点N.

（i）求证：|MN|的最小值为■；

（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

分析：本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与讨论、化归与转化思想、数形结合思想等.

解：（Ⅰ）由椭圆定义可知曲线C■的轨迹是椭圆，设C■的方程为■+■=1（a>b>0），所以2a=2■，c=1，则b=1，故C■的方程■+y■=1.

（Ⅱ）（ⅰ）证明：当k=0，M为C■长轴端点，则N为C■短轴的端点，|MN|=■.

当k≠0时，设直线OM：y=kx，代入x■+■=1，

整理得（x+3k■）x■=2，即x■=■，y■=■，所以|OM|■=x■+y■=■.

又由已知OM⊥ON，可设ON：y=-■x，同理得|ON|■=■，

所以|MN|■=|OM|■+|ON|■=■+■=（2+2k■）·■，

又|MN|■-2=■=■>0，

所以|MN|的最小值為■.

（ⅱ）存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆.

设Rt△MON斜边上的高为h，由（Ⅱ）（ⅰ）得当k=0时，h=■；

当k≠0时，|OM|·|ON|=■·■，

又|MN|=■ （12分）

由|MN|·h=|OM|·|ON|，得h=■=■，

故存在以原点为圆心，半径为■且与直线MN相切的圆，圆的方程为x■+y■=■.

四、分类讨论的方法和步骤

（1）确定是否需要分类讨论及需要讨论时的对象和它的取值范围；

（2）确定分类标准科学合理分类；

（3）逐类进行讨论得出各类结果；

（4）归纳各类结论.

例4：解关于x的不等式：■≥a-x.

略解：运用数形结合的思想解题如图：

在同一坐标系内作出y=■和y=a-x的图像，

以L■，L■，L■在y轴上的截距作为分类标准

知：当a≤-1时，-1≤x≤3；

当-1

当3

当a>1+2■时，不等式无解.

总之，分类讨论在高考中是一种重要的数学思想，从已知出发，通过分类讨论，探索命题的结果，关键的要点在于分类的临界点如何确定，如何科学分类是解决问题的重要节点，分类时要注意做到不重不漏.分类讨论的思想是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性，以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助.然而，并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论，如果能结合利用数形结合的思想，函数的思想等解题思想方法就可避免或简化分类讨论，从而达到迅速、准确的解题效果.