代换法在高中数学解题中的应用

沈小芳

摘 要： 代换法就是利用灵活多变的方式，简化复杂难题的典型性解题方法，在高中数学解题中灵活运用代换法，可有效提高学生的解题效率和解题能力.

关键词： 高中数学 解题 代换法 应用

高中数学教学过程中必须培养学生的思维能力，利用某种方式简化解题过程，帮助学生理解题意，分解题干，从而简化难题.代换法又被称为变量替换法，其应用于高中数学解题中，不仅能够将复杂难度较大的题目化简成为简单的题目，而且对于提高学生的解题能力，培养学生思维能力也具有重要的作用.

一、代换法概述

代换法是一种数学解题思路，在数学解题过程中有很多比较复杂的或者存在两个及两个以上未知条件的数学题，解题时根据知识间的内在联系，适时地转化题目中的数量关系，通过各个变量间条件转换，把一种问题转化为另一种问题，从而简化整个解题过程.代换法的方法有很多，比如函数代换、等量及不等量代换、变量代换、三角函数代换，等等，在数学解题时，如果能灵活运用代换法，则不仅能有效锻炼学生的思维敏捷性，而且能有效提高学生的思维能力.下面就以实际的例子分析各种代换法在高中数学解题思路中的灵活应用.

二、代换法在高中数学解题中的灵活应用

1.三角代换的解题思路

2.变量代换解题方法

在高中数学中很多函数体都是在已知函数相关等式的前提下，求相关的函数值，如果函数值比较复杂时，学生往往会被题目复杂的表面所困，实际上解答此类问题可以用变量代替法简化函数等式，使复杂的函数得到简化，从而使学生轻而易举地解出函数值，掌握解题思路，同时训练学生的发散思维能力.比如下面有一个不同的已知函数等式，我们就可以利用变量进简化的方式进行解题，具体步骤如下.

已知函数值f′（1nx）=1-x，求f（x）的值.解这道题时首先可以假设t=1nx，然后把t代入已知函数中，即f′（t）=1-x，简化到这一步，相比很多学生就会解这道题了.求出x的值，再将其带入原等式中，最后就可以得出f（x）的值.

再如，已知f（x）是定义在R上的奇函数，同时f（x-2）=-f（x），f（1）=-1.

请问：（1）请求证：f（x+2）=f（x-2）；

（2）请计算出f（2005）的值.

（1）解析：通过上述分析可以得知，因为f（x-2）=-f（x），所以可以得知，f（x）=-f（x-2），然后可以采用变量代换法将x变换为x+2，代入f（x）=-f（x-2）中可以得到f（x+2）=-f（x），因此f（x+2）=f（x-2）.

（2）解析：通过（1）我们可以得知f（x+2）=f（x-2），然后由f（x+2）=f（x-2）可以采用代换法将x变换成为x-2代入其中，最后可以得到：f（x-2+2）=f（x-2-2），f（x）=f（x-4）.

因此f（2005）=f（2001）=…=f（1）=-1.

3.概率中等量代换的运用

在高中数学中概率的学习对学生来说也是比较头痛的事情，概率的学习需要学生具备较强的分析能力、概括能力及简化步骤的能力.高中阶段的概率问题一般是古典概型，这类题的解题过程主要求一次实验中所有可能的结果数目，以及某个事件所包含的结果数目，涉及的内容一般为排列、组合知识.在解题过程中同样要把复杂的问题简单化，然后一步一步地解答.比如有这样一道题：一个袋子中有8个红球、4个白球，这些球除了颜色不同，其他都一样.如果从袋子中任意拿出5个球，那么拿出红球的概率为多少？

题中指出这些球除了颜色相同以外，其他没什么区别，但是在解题过程中运用了组合的形式，也就是说解题时把这些球是当做区别来计算的，这样算肯定是有一定道理的.我们先来看一个例子：某家商场进行大型促销活动，活动规则是，有一个盒子，里面放10个不同号码的乒乓球，10个乒乓球中有8个白色，2个黄色，顾客可以一次摸2个球，如果摸出的两个球都是黄色，就中了一等奖，这里我们分析计算的是顾客参加活动的一等奖的概率有多大.

4.比值代换

三、结语

在高中数学学习过程中，代换法是一种比较常用的解题方法，它不仅能简化解题过程，而且能帮助学生的分析解题思路，培养学生的发散思维能力，灵活运用多种不同形式的代换法能將复杂而繁琐的数学题简化计算，收到奇妙的效果，使学生不再畏惧数学计算.因此，在数学学习中一定要综合运用归纳、猜想、假设、数形结合及等量转化等相关的数学方式解决疑难问题，简化数学解题思路，培养学生的学习兴趣，从而提高学生的学习能力.

参考文献：

[1]邱进凌.代换法在高中数学解题中的灵活应用[J].科技视界，2014（27）：234.

[2]黄文芳.谈谈高中数学变量代换解题方法[J].时代教育，2014（8）：123.

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