微分方程通解法：构造辅助函数之新方法

邓美玲

摘 要：应 用Rolle中值定理证明时，通常需要构造辅助函数，本文提出在其他文献中还未出现过的微分方程通解法，此法解决题设只有一个函数的情况时更清楚简捷有效.

关键词： 微分方程通解法 辅助函数 Rolle中值定理

引言

微分中值定理是微分学的基本理论，解题时构造辅助函数的解法有原函数法、参数变异法、常数K值法、泰勒公式法、微分方程法、利用函数增量构造辅助函数、凑导法、乘积因子法、观察法、不定积分法、插值法.实际上在应用Rolle中值定理解题时构造辅助函数的方法有很多本质是一致的，例如原函数法、常数K值法、微分方程法、凑导法、乘积因子法等构造辅助函数的方法都是可以通过在求微分方程的通解的过程中得到辅助函数，并且这种方法思路清晰，步骤明确，大大提高了解题速度.下面就文[1][4]曾出现过的微分方程法加以改进，加大剖析的力度，得到更实用且更简便的推广的新方法——微分方程通解法.

1. 知识准备

结语

上述例题采用的构造辅助函数的方法均取决于微分方程的通解，故命名为微分方程通解法.此方法使得如何构造辅助函数更清晰.

一般说来，题设中出现一个函数，则用罗尔定理或拉格朗日定理，出现两个函数用柯西定理.但对于给了两个函数的题，可以通过构造辅助函数的方法，用罗尔定理或拉格朗日定理解题.为突出本文的重点，仅给出题设为一个函数情况时采用罗尔定理证明，构造辅助函数的一个新方法，根据以上讨论，对于某些类型的微分中值定理证明题，可以参考以上典型模式.从而可以像套用公式一样的套用构造辅助函数的模式，使灵活多变的辅助函数构造有章可循.

当然，在利用罗尔中值定理证明时，给出的条件不同，需要证明的结论不同，构造辅助函数的方法及技巧可能会有差距，本文的解法比较适用于问题给的是一到两个点的信息，若给出三个点的信息，则往往可以考虑拉格朗日插值法等其他方法；若是高阶微分方程，则可以仿照例3的思路处理，或者用常数K值法或者用泰勒公式法，等等，本文不再赘述.

参考文献：

[1] 陈小亘.浅析辅助函数的构造及应用[J].湛江师范学院学报，2009.12.

[2]李国成.利用微分中值定理解题时辅助函数的构造[J].江西教育学院学报，2009.12.

[3]张跃 董俊.如何构造辅助函数证明中值等式[J].四川兵工学报，2008.4.

[4]王顺凤.利用Rolle定理证明时求原函数的若干方法[J]. 高等数学研究，2002.9.

[5]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，1991.

[6]华东师范大学常微分教研室.常微分方程.第二版[M].北京：高等教育出版社，2005.

[7]李君士.两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[J]. 数学的实践与认识，2004.10.

[8]Simmons，George Finlay.Differential equations：theory，echnique，and practice[M].清华大学出版社，2009.

此项工作得到国家自然科学基金（项目批准号： 11301207，11171081），江苏省自然科学基金（项目批准号： BK20130411），江苏省高校自然科学基金（项目批准号： 13KJB110002） 资助.