例析“整体思想”在解题中的应用

万晓斌

数学的思想方法很多，“整体思想”即为其中之一.数学习题中，由给定条件按照常规的方法和步骤不能直接得到解决，要不就是解题过程繁琐，会走很多弯路.而把“非必求部分”视为一个“整体”，可以找到解决问题的捷径.这种体现“整体思想”的解题方法，会使问题简单化，如果能够在解题中灵活应用，将会收到事半功倍的效果.

例5：已知y+b与x+a（a、b为常数）成正比例，且x=3时，y=5；x=2时，，试确定y与x的函数关系式.

解：∵y+b与x+a成正比例

∴y+b=k（x+a）①

当x=3时，y=5；x=2时，y=2代入①式得

3k+（ka-b）=52k+（ka-b）=2

解方程组得：k=3，ka-b=-4.

于是y与x的函数关系式为：y=3x-4.

评析：由以上方程组要分别求出待定系数k、a、b，确实困难，因为ka-b整个相当于一次函数一般表达式y=kx+b中的常数b，所以只有把ka-b作为一个整体，能最终确定y与x的函数关系式.

例6：有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可运货多少吨？

解：设1辆大车和一辆小车一次可分别运货x、y吨，根据题意，得

2x+3y=15.5 ①5x+6y=35 ②

①×7-②得：9x+15y=73.5

即3x+5y=24.5

也就是3辆大车与5辆小车一次可运货24.5吨.

评析：常规方法是通过解上述二元一次方程组，先求出x、y的值，再进一步去求3x+5y的值.但本题中，要求的是3辆大车和5辆小车一次可以运货多少吨，故把3x+5y看做一个整体，通过观察方程未知数各系数的特点，由上述方法即可以一步到位，求解简捷、快当.

总之，利用“整体思想”解题就是把一个复杂的问题通过变形，转换成一类整体，通过对简单的整体进行求解之后，再解决相关问题的方法.在数学教学中教会学生利用“整体思想”解题，可以提高学生的观察、分析能力，转化思维的能力，以及化归思想和收敛思维能力，从而提高学生灵活解决数学问题的能力.