用黎曼积分的定义求无穷和式的极限

杜超雄

摘 要： 利用定积分的定义求极限是现行数学分析教材和高等数学教材上无穷和式的极限的计算的一种重要方法，不少参考文献也着力总结和归纳该方法.但是，几乎没有文献研究除定积分外的其他黎曼积分对应的无穷和式的极限问题.本文着力于从黎曼积分的定义出发，构造相关的无穷和式极限问题.

关键词： 黎曼积分 无穷和式 极限

对于无穷和式的极限问题，可以通过先求出无穷和式的表达式再求极限，但是当其无穷和式的表达式不易求出来时，常常考虑利用定积分的定义计算该类问题.利用定积分的定义求极限是现行的数学分析教材和高等数学教材上无穷和式的极限的计算的一种重要方法，不少参考文献（如[1-4]）也着力总结和归纳该方法.其实，定积分是黎曼积分的一种，而黎曼积分的定义也是由极限方式给出的.那么，我们是否可以构造相应的利用黎曼积分的定义进行求解的极限问题呢？文献[5]虽然看到了这一点，但所论述的仍然是利用定积分定义求极限问题.本文试图在此基础上作延拓，以供同行在教学中参阅或者供高校学生参考.

其实，对于几类黎曼积分的定义，均是以无穷和式的极限方式给出.既然如此，一些相关的无穷和式可以考虑用黎曼积分的定义求解.

1.几何形体上黎曼积分的统一的定义

当然，对于第一类曲线积分和第一类曲面积分而言，其定义也是由极限的方式给出，因此也可以构造出一些相关的无穷和式的习题，这里不再一一叙述.我们撰写本文的目的仅仅在于唤起广大理工科大学生学习积分的兴趣，并在学习数学知识时能够融会贯通、举一反三，同时供同行参考.

参考文献：

[1]刘涛.定积分的定义在求无穷和式极限中的应用[J].中国西部科技，2010，3：86.

[2]徐立峰.定积分极限问题中的三种典型方法及应用[J].高等数学研究，2011，14（1）：59-62.

[3]丁韫，杨晓春.了解积分—求和[J].大学数学，2013，29（5）：144-147.

[4]康旺强.一个积分极限问题的推广[J].黑龙江科学，2014，5（4）：172-173.

[5]闫仰奎，董学碧.黎曼积分与多值函数的极限[J].山西大学学报（自然科学版），1998，21（2）：107-109.

[6]欧阳光中，等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2008，第三版.

本课题受湖南省教育厅重点科研项目（14A132）和邵阳学院教改项目（2013JG08）资助.