例谈“以进求退”的数学思想方法

崔国虎

一般情况下，在解答数学问题时，通常采用“以退求进”的思想方法，即从“结论”向“条件”后退；从“一般”向“特殊”后退；从“抽象”向“具体”后退；从“综合”向“单一”后退；从“高维”到“低维”后退的思想方法.但有些问题只用“退”的方法是非常困难，甚至难以解决.这时，如果采用“退”相反的方向——“进”，如：从“特殊”进到“一般”；从“较弱”进到“较强”；从“简单”进到“复杂”；从“具体”进到“抽象”，再通过对新问题的思考，就会较快地找到解决问题的途径.这种思考数学问题的方法，我们称之为“以进求退”.

一、“特殊”进到“一般”

有些数学问题，就其本身的数量关系，直接寻找解题途径有困难，往往是由于特殊的数（或量）妨碍了人们从一般性去考虑问题所致.不妨采用“特殊”进到“一般”的思想方法，寻求解题的途径，先从原题的结构特征出发，推广到一般的情形把问题解决，这样原题自然就被解决了.

四、从“具体”进到“抽象”

从“具体”进到“抽象”是人们认识问题思维过程的一个飞跃，这一过程的完成標志着对问题的认识进入了创造性的境界，可能探得过去从未有过的新东西.运用这种思想方法来解有关数学命题，也有其独特的功能.

例4：任给10个不同的两位数，从中一定可以选出两组数来，它们之间没有相同的数，使得其中一组数的和等于另一组数的和.

证明：设这10个两位数形成一个集合A，则A有2-1=1023个不同的非子集，且每一个子集都由不多于10个两位数组成，由此可知，每一个子集的元素之和小于10×100=1000.从而，由“抽屉原理”知，必有两个不同的子集中的元素之和相等.如果这两个子集中有相同的元素则划去，所得的和仍然相等，故命题获证.

上述证法之所以简洁，是因为把10个不同的两位数的全体抽象成某一集合，借助于其子集个数及“抽屉原则”便一目了然，否则就无从下手.