探究导数在高中数学解题中的应用

全裕刚

摘    要： 在近几年的高考題中，对导数的考察越来越多，与导数有关的知识点也成为高考考察的重要内容.教育改革提倡在数学教学中体现知识的实用性和经济性.在高中数学中进行关于导数知识的教学，不仅可以为数学教学注入新鲜血液，还可以提高学生的解题效率.本文就导数在高中数学中的应用作探讨.

关键词： 高中数学    导数    解题    应用

一、导数的内涵

导数是在微积分领域较重要的基本概念，是函数概念的局部，具有函数的基本性质.当函数y=f（x）中自变量X在某一个点X■上时就会出现一个增量X，这时函数输出的增量y与自变增量ΔX的比值在向0无限靠近时如果存在极限a，a就是X■这一点的导数.许多问题通过运用导数求解，会更加方便、准确[1].

二、导数在数学解题中的应用

（一）利用导数判断函数的单调性

所谓函数的单调性问题，其实就是在某一特定区间内，随着自变量的增减，因变量也会随之产生变化.例如在减函数区域内，就只有自变量不断增大而因变量随之变小这一单一的情况，如果随着自变量变大因变量同时变大，则是出在增函数区域内.在没有进行导数的相关教学之前，一般是通过定义判断函数的单调性的，在简单的单调函数的判断中，这种做法尚且可取，但是如果遇到比较复杂的函数，再通过运用定义判断，过程就会极其繁琐费时，而且容易出错.学习引入导数概念后，就可以根据导数的概念轻松地判断了.如果要判断函数f（x）在[m，n]这一区间内的单调性，就可以利用导数，在区间内求导，如果导数值大于零，则证明函数f（x）在[m，n]区间内为单调递增函数，如果导数值小于零，则相反.如果是要求某段函数上的单调函数区间，就要对求证的区间范围做明确的说明[2].

（二）利用导数求证不等式

通过对近年来高考试题的分析，发现经常将导数与不等式结合起来考察.利用导数解决不等式问题，解题方式往往会更简便明了，而且通过使用导数求证不等式还可以使学生更深入地了解不同类型的题目之间的内在联系，使学科的学习更系统化、网络化.利用导数解决不等式问题通常是将两个不等式转换为函数问题，就是判断两个函数大小的问题，通过构建新的辅助函数，判断函数在某一区间的单调性情况，这样就可以通过判断函数的大小判断不等式是否成立.

（三）利用导数求函数最值

在高考考察范围内，求函数的最大值问题一直是作为难点考察的.关于函数最值的求解方式也很多.在部分题目求解时，采用导数的方法，会产生新的解题思考方式与解题技巧.最经典的是在二次函数中求解最值，二期函数求最值，本来就是在某一特定的区间内求出最大值或者是最小值，提供了一定的参数.如果使用传统的其他解题方式，一般是要将数形结合起来，解答过程中要不断参考数据与图形，二者要同时兼顾，如果在哪一点疏漏了，就会出现错误，得不偿失.而采用导数的方法，就可以对区间内函数的单调性作出迅速准确的判断，只要将求解的最值与区间相对应就可以了.如果遇到复合函数求最值问题，只要能确定定义域，就能很快求出最值[3].

（四）利用导数解决切线问题

随着素质教育的观念深入人心及教育改革对数学提出的要求，近年来，对于特殊曲线的切线问题的探究也越来越多.例如对指数函数的曲线切线、三角曲线的切线等此类问题的研究，这些切线问题用传统的方法求值，不仅绘图过程繁琐，还容易出错.导数从本质上来讲，是函数的一部分，也就是任意曲线上某一点的斜率.就是这一实质，使得将导数运用到切线问题中时，解题思路和方法就会变得十分清晰简单，能够更高效准确地求出正确答案.切线问题在高考中的比重变得越来越大，值得引起各位教师和学生的注意.

（五）利用导数解决数列问题

数列同样是高考考察的重要部分，也是中学阶段需要学生掌握的一个重要的教学内容，关于数列有很多的解决方案，其实也可以把数列问题运用到导数进行解答，把数列整体看做是自变量为整数的特殊函数，这样将数列问题转化为函数问题，然后就可以运用导数求解了[4].

结语

通过上文的分析，不难看出导数在高考命题中出现的几率越来越高，渐渐变成了命题的热门，而且在平时的数学学习、练习中，导数可以应用到多种类型的题目中，是很重要的分析、解决题目的有效工具.熟练地运用导数解题，不仅可以更迅速、准确地解题，还能开拓学生在解题时的思维方式，培养创新的思维习惯.因此，在平时的学习、练习中加强对导数内容的学习与巩固很有必要.

参考文献：

[1]余修伟，高海霞.导数在高中数学解题中的运用分析[J].新课程研究（基础教育），2009（11）.

[2]彭源广.导数在高中数学解题中的应用管窥[J].数理化解题研究（高中版），2014（09）.

[3]蓝桂丹.例谈导数在高中数学解题中的应用[J].教育探索与实践，2009（8）.

[4]闫红梅.谈导数在高中数学解题中的应用[J].数学之友，2012（20）.