读懂教材 灵活应“变”

郑燕

“数学广角”是人教版教材独有的内容，它的编排意图在于系统而又有步骤地把一些重要的数学思想方法，通过学生可以理解的、日常生活中常见的最简单的事例呈现出来，借助一些操作等直观手段向学生进行渗透。“排列组合”的内容安排在“数学广角”中，分别在二、三年级出现，新旧教材二年级都在上册，三年级从上册改到下册。我们认真地对比这两套教材，会发现同样是这部分内容，它的结构和例题呈现形式及课后的习题都进行了一些调整。到底哪些“变”了，哪些“不变”， 为什么会发生这样的变化，面对变化我们要做些什么呢？下面就让我们一起走进新旧两套教材，深入地来探讨一下这个问题。

一、新旧对比，寻找不同

旧教材二年级上册共设置3个例题：例1是简单的排列，例2是最简单的推理，例3是简单推理。而新教材就安排2个例题，其中例1要探索的是用非0的3个数字组成没有重复数字的两位数的个数，这是一个排列问题。例2则紧密结合学生已有知识，让学生从3个数中任取2个求和，确定得数的种类数，两个数相加之和与数的先后位置无关，是组合问题；三年级都是3个例题，但出现的先后顺序却改变了，旧教材是组合—排列—组合，新教材改成排列—组合—组合，如此更改我们可以看出编者对排列组合内容的完整性和系统性的重视程度。

细细琢磨教材结构上的调整，我们不难领会编者的良苦用心。看旧教材的例1只给出了一幅学生用数字卡片摆两位数的情境图，要求用1，2能摆成几个两位数？用1，2，3呢？例题虽然关注了学生的动手操作和合作交流，却忽略了解决问题的思考过程，未能突出有序思考在这节课的价值所在。而新教材的例1则用1，2和3组成两位数，每个两位数的十位数和个位数不能一样，能组成几个两位数？考虑到学生的知识起点，设置有一定的思维含量的例题，让学生从3个数中任选2个数摆成两位数比单纯地用2个数摆两位数更丰富，更具挑战性。例题要求十分明确，学生不仅读懂了要选2个数摆，而且还知道摆成的两位数十位和个位不能一样，避免出现一些不必要的干扰，也为正确解决问题做好准备。第一幅图呈现了两名学生独立思考、动手寻找的情境：摆数字卡片无序寻找；借助数位表，按照规律交换两个数字的位置寻找。第二幅图呈现了学生进行组内交流的情况，“我摆得有点乱”“我按规律写就不乱了。你也按规律摆一摆吧”体现了学生对于自己解决问题过程的反思，渗透有序思考的方法。最后小精灵问的“怎样做才能不重不漏”集中全班交流的焦点问题，再次引导学生梳理思考过程，进一步感受有序思考的好处，整个过程学生的思维是循序渐进的。相比旧教材，新教材更注重以解决问题的思路引导学生学习，先让学生明白要解决的问题，懂得组数的要求，除在教材中呈现调换位置有序思考外，还留给学生发展的弹性空间，允许学生用不同的方法解决问题。这样设置，不仅给教师指明了备课教学的方向，学生通过教材也会得到启发，不断调整探究的方式和方法，达到思维的严谨和创新。

旧教材二年级的例1后面的习题有两道，一道是组合，一道是分类列举，学生由例1排序的学习直接过渡到组合与分类问题，解答起来有一定的难度，无法形成比较完整清晰的认知结构。而新教材将排列和组合分两个例题来教学，减缓了难度，加强了学生对与事物顺序有关和无关的问题的认识，而且在每个例题后都配备了相类似的习题，先模仿再提升，达到逐步内化。

二、瞻前顾后，完美衔接

只有了解课程背景，理解教材意图，学会正确看待例题的编排顺序，掌握各部分内容的教学目标和重难点，才能把握不同年级的目标和要求，做到不越位、不拔高，拾级而上，从而实现前后知识的完美衔接。

关注二年级的排列组合时，不禁想起一年级下册“综合与实践”中的“摆一摆，想一想”一课，它通过在数位表上摆圆片的活动，巩固数位和位值的概念；通过探究圆片个数与所摆出的数的个数之间的关系，发现规律并应用规律解决一些简单的问题；通过学生自主探索体会有序思考的重要性。整个过程学生利用数位顺序表，加深了对数的认识，经历了摆到不摆的抽象过程，从2个圆片摆几个两位数入手，到摆3个、4个，再到不摆想一想9个、10个、11个圆片又能摆出几个数，学生在活动过程中逐步感受到有序思考的价值。有了前期的铺垫，学习二年级的排列问题时，再次感受有序思考似乎已水到渠成，顺理成章。

再看三年级的排列组合，内容和出现的先后顺序都有变化。旧教材的例题的呈现顺序常常让教师感觉凌乱和不顺畅，调整后显然将这一纠结的问题给排除了。例1是“用0，1，3，5能组成多少个没有重复数字的两位数？”虽说都是组成两位数，相比二年级难度明显加大，原来是3个数里选2个数组成两位数，现在是4个数中选2个数，学生不仅要应用曾经掌握的方法有序思考，而且无论是用分类计数法还是分步计数法都要考虑排除最高位不能为0的情况，思维灵活，学生不能机械地照搬原模式，需全方位考虑问题，活学活用，凸显排列组合问题变幻多端的特性。例2服装搭配，例3体育中的数学，两个例题都是通过连线来记录不同的穿法，属于组合的范畴。根据学生的知识基础和解题方法的积累，对其要求明显提高，学生不仅要会连线表示搭配方法，还要会用简单的图形或符号表示出自己的想法和思考过程，更加简洁、直观。我们知道，直观的符号化的问题分析方式，是最能为小学生接受和模仿的。学生通过画一画、摆一摆、连一连等形式，不仅能找出简单事物的排列数和组合数，而且会体验到计数时，如何全面、有序、简捷地去思考问题。更重要的是，画、摆、连、观察等这些具体的、可操作的技能，是学生学习数学包括任何问题的解决，都可依凭的“通法”。

两个年级教学的目标一致，但教学的侧重点还是有所不同的。二年级更侧重：（1）枚举法罗列出几种情况；（2）在罗列的基础上数出个数。而三年级则侧重：（1）符号化思想的渗透；（2）排列的原理在教学过程中更加明晰，如解决这个问题要分几步，第一步有几种方法，第二步有几种方法等，学生在画图的过程中就能清楚地看出。

三、综观全局，灵活应变

排列组合问题和日常生活联系紧密，如体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱、手机中密码的排列数，车牌、电话号码的升位，还有大家研究和关注的彩票中奖号码等。但它又是中学数学中较特殊的一个内容，是教学中的一个难点，学生解题常出差错，所以我们在教学时要特别重视渗透数学思想方法，不断提高学生的数学境界，使学生从数学思想的层面上去理解它。因此，我们在平时的教学中要关注以下三点。

（一）始终贯彻“有序思考”

“有序思考”不仅表现在例题教学中，在练习环节的设计时也要不断渗透。如教学二年级例1的搭配后设置这样的巩固练习：让学生用红、黄、蓝三种不同的颜色给福建和江西两省涂上不同的颜色，一共有几种涂色方法。它与例题的思考过程相同，只是排列的对象发生变化，用三种颜色中的两种进行排序，涂颜色对于学生来说是直观且感兴趣的，这样安排能再次激起学生选择方法有序搭配的热情；接下来是三种颜色给三个省上色，学生就要综合应用“定位”和“调换位置”两种方法进行有序思考。带着解决问题的愿望去探索，体会排列对日常生活中问题的意义所在，在获得问题解决的同时，有序思考的意识已深入脑中。

（二）引导学会“分类讨论”

分类讨论是一种逻辑方法，是按照一定标准把研究对象的范围划分成若干个小范围，在不同范围采取不同的方法。如练习题“用1角、5角和1元硬币可以组成多少种不同的币值？”要解决这个问题首先要明确分类，即按照1枚、2枚、3枚硬币三类情况分类，任选2枚或3枚硬币时是组合问题。共有7种不同的币值：由1枚硬币组成的币值是1角、5角、1元；由2枚硬币组成的币值是6角、1元1角、1元5角；由3枚硬币组成的币值是1元6角。再如例题：服装的搭配，可讨论1件上衣配下装有三种情况，2件上衣配下装就有六种情况；也可从下装入手，1件下装搭2件上衣两种情况，3件下装搭2件上衣就有六种情况。由此可见，分类讨论思想是一种重要的数学思想，同时又是一种重要的解题策略，在排列组合的教学中要始终贯彻。

（三）自主选择“表达方式”

排列组合知识到高中二年级才要系统学习，而小学教材编排排列组合内容，其意图肯定不是想让小学生学习什么是排列、什么是组合、分类计数原理等深奥、系统的数学知识。从教材所提供的解答思路可见，5个例题的解答全部采用了画线、罗列、画表的方式进行展开分析，学生能理清自己的思路，并清楚地用语言讲清思考过程和对问题的理解过程，能够由直观到抽象，应用简洁的符号表达，得出计数的结果。在此过程中，算式没有出现，但教师在教学中，根据罗列的结果进行适当提炼，正所谓“提领而顿，百毛皆顺”，让学生领悟、感知解决问题的方法，扎扎实实地掌握直观表达方式，以不断积累对排列组合情境的形象感知。

总之，在小学阶段的排列组合例题教学中，我们只要求学生能根据实际问题，找到最简单事物的排列数和组合数，并能感受到有的与排列顺序有关、有的与排列顺序无关就可以了。数学思想方法的把握不可能一蹴而就，而是一个潜移默化、逐步提升的认识过程，我们要在各个教学环节认真地加以挖掘、提炼，不断地进行渗透，逐步培养学生有序、全面地思考问题的意识。

（福建省福州市井大小学 350001）