一元一次不等式考点分析

马荣平

一元一次不等式（组）的问题中考中的一个重要的考查内容，考查的题型可以是填空题、选题，也可以是解答题，考查的方式可以是单一知识的考查，也可以与其他知识点结合起来考查，如与方程、几何图形、函数等. 下面就以一些中考试题为例进行分析.

考查知识点一：不等式与不等式的性质

例1 （2014·广东汕尾）若x>y，则下列式子中错误的是（ ）.

A. x-3>y-3

B. x3>y3

C. x+3>y+3

D. -3x>-3y

【分析】根据不等式的基本性质，进行选择即可.

【解答】A. 根据不等式的性质1，可得x-3>y-3，故A正确；B. 根据不等式的性质2，可得x3>y3，故B正确；C. 根据不等式的性质1，可得x+3>y+3，故C正确；D. 根据不等式的性质3，可得-3x<-3y，故D错误；故选择D.

【考点分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟知不等式的性质及注意事项. 不等式的三个性质（特别是第三个性质）是：（1） 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. （2） 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. （3） 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

考查知识点二：不等式（组）解集的表示

例2 （2013·眉山）不等式组3x<2x+4，

x+33-x≤-1.的解集在数轴上表示为（ ）.

【分析】利用不等式的性质，先求出每个不等式的解集，然后分别在数轴上表示出来即可.

【解答】3x<2x+4，①

x+33-x≤-1.②由①得，x<4；由②得，x≥3，故此不等式组的解集为：3≤x<4，在数轴上表示为： 故选D.

【考点分析】本题考查了不等式（组）解集的表示. 用数轴表示不等式的解集，有如下规律：大于向右画，小于向左画，有等号（≥，≤）画实心点，无等号（>，<）画空心圈. 要特别注意空心实心的问题.

考查知识点三：解不等式（组）

例3 （2014·镇江）解不等式：2+2x-13≤x，并将它的解集在数轴上表示出来.

【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤运算.

【解答】去分母，得6+2x-1≤3x.

解得x≥5.

它的解集在数轴上可表示为：

【考点分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解题的关键是不等式的基本性质. 解一元一次不等式与解一元一次方程的思想和方法差不多，只是最后系数化为1的时候不等式两边同时乘或除以正负数涉及到不等号是否改变的问题. 对于在数轴在表示不等式的解集，有固定的要求，即“不含等号的不等式用空心，含等号的不等式用实心”，“不等号的尖端指向哪一边则其解集指向这一边”.

例4 （2014·山东济南）解不等式组：x-3<1，①

4x-4≥x+2.②

【分析】先求得两个不等式的解集，然后确定其公共部分.

【解答】解不等式①，得x<4，解不等式②，得x≥2，∴不等式组的解集为：2≤x<4.

【考点分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是掌握解不等式组的一般步骤. 此类问题容易出错的地方是在化简不等式的过程中出现漏乘、写错符号等错误，在解不等式的过程中，出现利用不等式的性质3时，没有改变不等号方向的错误.

考查知识点四：不等式（组）整数解

例5 （2014·贵州黔东南州）解不等式组23x+5>1-x，

x-1<34x-18.并写出它的非负整数解.

【分析】逐一解两个不等式，再求出不等式组解集，从中找出它的非负整数解.

【解答】解不等式①，得x>-125；解不等式②，得x<72；∴不等式组的解集为：-125

【考点分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及整数解，解题的关键是求出不等式组的解集. 此类问题容易出错的地方是找不等式组解集的公共部分出错.

考查知识点五：不等式（组）有解无解

例6 （2014·山东潍坊）若不等式组x+a≥0，

1-2x>x-2.无解，则实数a的取值范围是（ ）.

A. a≥-1

B. a<-1

C. a≤1

D. a≤-1

【分析】先分别解出两个不等式，然后根据不等式组无解确定a的取值范围.

【解答】解不等式①得x≥-a，解不等式②得x<1，因为不等式组无解，故-a≥1，解得a≤-1，故选择D.

【考点分析】本题考查了不等式组的解法，解题的关键是明确解不等式组的口决. 此类问题容易出错的地方是未考虑等号的情况从而误选答案B. 解不等式组的口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”.根据口诀找到关于未知数的不等式求解，同时要注意单独考虑等号（界点）是否符合题意.

例7 （2014·山东泰安）若不等式组1+x

x+92+1≥x+13-1.有解，则实数a的取值范围是（ ）.

A. a<-36

B. a≤-36

C. a>-36

D. a≥-36

【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据原不等式组有解确定两个不等式的解集之间的关系，建立不等式求出a的取值范围.

【解答】不等式1+x

x≥-37.有解，其解集应为-37≤x-37，解得a>-36，故应选C.

【考点分析】本题考查了不等式组的解集问题，关键是要能求出不等式组中每个不等式的解集，能正确理解有解的意义. 此类问题容易出错的地方是不能确定不等式组有解时原不等式组中的两个不等式的解集之间的关系，找不出a应满足的条件而出错. 根据一元一次不等式组的解集情况，推测字母系数的值的范围，先确定不等式组解集用字母系数表示的情况，结合解集情况构造关于字母系数的不等式. 本题也可以利用数轴，从直观上去解决问题.

考查知识点五：不等式（组）应用

例8 （2014·湖南长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如茶地进行. 某施工队计划购买甲乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元.

（1） 若购买两种树苗的总金额为90 000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2） 若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？

【分析】（1） 根据甲乙两种树苗共400棵，总金额为90 000元建立方程（组）可求出其解；（2） 根据甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，建立一元一次不等式可求出其解.

解：（1） 设需购买甲树苗x棵，则购买乙树苗（400-x）棵

依题意得：200x+300（400-x）=90 000，

解得：x=300，

∴400-x=400-300=100（棵）.

答：需购买甲种树苗300棵，乙种树苗100棵.

（2）由题意得：200x≥300（400-x），

解得：x≥240.

∴至少要购买甲种树苗240棵.

【考点分析】本题考查了用一元一次方程（组）和一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是找等量关系和不等关系. 此类问题容易出错的地方是审题不清，找不到相等关系或不等关系. 其中列不等式（组）解应用题的关键是根据题意找出题目中的不等关系或隐含的不等关系，再根据相应的关系列出不等式（组）. 要注意通常不等关系的给出总是以“至少”、“没满”、“少于”、“不超过”、“最大”等关键词语作为标志. 有时在解出不等式（组）之后，还要根据实际情境适当取舍，选出符合要求的答案来.

例9 （2014·广西百色）有2条生产线计划在一个月（30天）内组装520台产品（每天产品的产量相同），按原先的组装速度，不能完成任务；若加班生产，每条生产线每天多组装2台产品，能提前完成任务.

（1） 每条生产线原先每天最多能多组装多少台产品？

（2） 要按计划完成任务，策略一：增添1条生产线，共要多投资19 000元；策略二：按每天能组装最多台数加班生产，每条生产线每天共要多花费350元；选哪一个策略较省费用？

【分析】不等式的实际应用是不等式知识的一个重要考点，解题时，我们要正确分析和处理已知信息，抓住隐含在题目中表征不等关系的关键词，如‘不超过’、‘最低’、‘至少’、‘最多’、‘不大于’等，找准不等关系，正确设出未知数，列不等式解决.

解：（1） 设每条生产线原先每天最多能多组装x台产品，依题意，得：

2×30x<520，

2×30（x+2）>520.解得：203

（2） 选用策略一，共要多投资19 000元；选用策略二，共要多投资：350×2×520（8+2）×2=18 200（元）；∵19 000>18 200，∴选用策略二较省费用.

【考点分析】本题考查了不等式组的实际应用，正确找出题中的不等关系是解题的关键. 利用不等式组来解决方案选择问题是中考的常见题型，这类题的通常做法是：首先找出题目中隐含的不等关系，然后列出符合题意的不等式或不等式组求解；最后根据题目要求用不等式组的正整数解确定选择符合要求的方案.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）