分类讨论思想精读

杨文金

2008年～2014年本刊精心打造的“三轮法中考复习新方案”受到了广大读者的一致好评，老师称它是中考复习专题讲座难得的好讲义，学生把它视为教材和课堂之外的浓缩精华资料.本刊在总结过去经验的基础上，又约请中考命题专家、名校名师编写了2015年“三轮法中考复习新方案”，其中第1期、第4期和第6期为数学专辑，分以下三个部分.

1.第一轮复习部分.按知识块复习基础概念、基本方法、基本技能，解决重点、考点、难点、疑点及大知识块内知识技能的综合应用问题.

2.第二轮复习部分，此部分以专题复习为主，对中考试卷中必然出现或可能出现的题目包括综合性题目进行归类，分专题深入复习，对中考命题趋势进行预测.这一轮复习是纵向深化知识的综合应用，重点解决中考试卷中的综合问题和特殊问题.

3.第三轮复习部分.本部分由仿真模拟试题和中考命题大预测以及中考应对策略组成.将典型题、新型题呈现给读者，力求对2015年中考题型有一个全景式的呈现，并提供最佳的中考解题策略和应试技巧.相信大家读后一定会有所收获！

本期为“分类讨论思想精读”、“运用整体思想巧解中考题”等内容，配合第三轮复习，为帮助同学们高效复习，所刊登内容给同学们指明了复习的重点知识、重要方法、重要解题规律，并展示了典型例题，彻底解决同学们复习过程中的疑难问题.为了更有效地应对2015年中考，本期特刊登2015年中考 大预测试题.

对于运用分类思想解题的过程（思维、动因和方法），我们把它归纳为以下四个方面.

1.要知道为什么要进行分类.一般地说，当我们研究的问题是下列五种情形时可以考虑使用分类的思想方法来解决问题：（1）涉及分类定义的概念，有些概念是分类定义的，如有理数、实数、绝对值、等腰三角形的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法；（2）直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则，如有理数的大小比较法则、一元二次方程根的判别式、直线与圆的位置关系、函数的性质等，当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时，一般要考虑使用分类讨论的方法；（3）问题中含有的参变量的不同取值（如分段函数）会导致不同结果而需要对其进行分类讨论；（4）几何问题中几何图形不确定而需要对其进行分类讨论；（5）由数学运算引起的分类讨论.

2.如何进行分类.首先，明确分类讨论思想的三个原则：（l）不遗漏原则；（2）不重复原则；（3）同标准原则，其次，查找引起分类讨论的主要原因，即属于上述五种主要原因中的哪一种.最后，掌握分类讨论思想的常用方法.分类方法一般为分区间讨论法，即把参数的变化范围（或几何图形中动点的变化范围）划分成若干个以参数特征（或几何图形中的端点）为分界点的小区间分别进行讨论，根据题设条件或数学概念、定理、公式的限制条件确定参数或几何图形中动点的情况.

3.正确进行逐类逐级分类讨论.

4.归纳小结，最后要总结出结论.

结合2014年全国各地中考的实例，我们从下面几个方面探讨分类方法的应用.

一、代数中涉及分类定义和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用

例1 （2014.自贡）一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则 的值是____.

分析：由于k的符号不能确定，故应分k>0和k<0两种情况进行解答.

解：当k>0时，函数值随自变量的增大而增大.

当l≤x≤4时，3≤y≤6，

当x=l时，y=3；当x=4时，y=6.

解得 故 .

当k<0时，函数值随自变量的增大而减小，

当1≤x≤4时，3≤y≤6，

当x=l时，y=6；当x=4时，y=3.

解得

故答案为：2或-7.

点评：本题考查的是一次函数的性质，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解.

例2 （2014.东营）若函数 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）.

A.0

B.O或2

C.2或-2

D.0，2或-2

分析：分为两种情况：①函数是二次函数；②函数是一次函数.

解：分为两种情况：①当函数是二次函数时.

函数 的图象与x轴只有一个交点，

且m≠o.

解得：m=±2.

②当函数是一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x+l.和x轴只有一个交点.

故选D.

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错.

二、几何中涉及分类定义和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用

例3（2014.安顺）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足 ，则此等腰三角形的周长为（）.

A.7或8

B.6或10

C.6或7

D.7或10

分析：先根据非负数的性质求出a，6的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长，

解：

解得

当a为底边长时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8.

当6为底边长时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7.

综上所述此等腰三角形的周长为7或8.故选A.

点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，解题时注意分类讨论.

三、含有的参变量的不同取值的分类应用

例4 （2014.舟山）当-2≤x≤l时，二次函数y= 有最大值4，则实数m的值为（）.

A.

B.

C.

D.

分析：根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可，

解：二次函数图象的对称轴为直线x=m，.

①当m<-2时，则x=-2时二次函数有最大值，此时 ，解得 与， 矛盾，故m值不存在.

②当-2≤m≤l时，则X=m，时，二次函数有最大值.

此时，m2+1=4，解得 或 （舍去）.

③当m>l时，则x=l时，二次函数有最大值，此时， ，解得m=2.

综上所述，m的值为2或 .故选C.

点评：本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论，

四、几何问题中几何图形的不确定的分类应用

例5 （2014.凉山州）已知 的直径CD=10cm，AB是 的弦，AB上CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）.

A. cm

B cm

C. cm或 cm

D. cm或 cm

分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论，

解：连接AC，AO， 的直径CD=10cm，AB CD，AB=8cm.

当C点位置如图1所示时，

当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm.

在Rt△AMC中，

故选C.

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

例6 （2014.黄冈）如图3.在一张长为8 cm，宽为6 cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）.则剪下的等腰三角形的面积为____Cm2.

分析：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分3种情况讨论：（1）腰在矩形相邻的两边上；（2）一腰在矩形的宽上；（3）一腰在矩形的长上，

解：分三种情况计算.

（1）如图4，当AE=AF=5cm时，

（2）当AE=EF=5cm时，如图5.

（3）当AE=EF=5cm时，如图6.

综上可知，剪下的等腰三角形的面积为 或

点评：本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾殷定理，要根据等腰三角形的腰的位置不确定分情况讨论.