基于数学活动 凸显概念本质

张彦春 李雪梅

【教学内容】人教版三年级上册第七单元第2课时，第83～84页“周长”。

【教学目标】

1.学生能指出具体情境中物体表面或封闭图形的一周。

2.通过量一量、算一算、比一比等活动，理解周长就是封闭图形一周所有边线的长度之和。

3.经历周长概念的抽象概括过程，在问题解决过程中渗透数学推理的意识，感悟“化曲为直”的数学思想，培养合作交流、乐于分享的精神。

【教学过程】

一、基于学生认识，提出问题

师：同学们向李老师提了三个问题，现在我给同学们提一个问题（教师在黑板上写上“周”字），你能用这个字组一个词吗？

生：周长。

师：那你能说说“周长”是什么意思吗？

生：周长就是一个封闭图形一周的长度。（教师在黑板上写下：封闭、一周、长度）

师：那“封闭”是什么意思？“一周”又是什么意思？“长度呢”？接下来我们就来研究这些问题。

（评析：学生并非白纸一张，生活经验、课前学习等经历让他们或多或少对所要学习的新知识有所认识。教师的教学正是从学生已有的认知出发，提出了明确的研究问题，有效地聚焦了学生的思维。）

二、观察操作，感受一周

1.辩一辩，明晰一周。

师：谁来说一说“一周”是什么意思？

生：一周就是一个图形的边缘。

师：（教师出示一片树叶教具）谁来摸一摸这片树叶的边缘？（一生上前去摸，教师点评）

师：（教师出示课件）有4只小蚂蚁，沿着树叶边缘的一点出发爬了起来，谁爬的路线正好是树叶的一周？可以把你的想法与同桌说一说。

生：第4只。

师：为什么1、2、3号不是呢？数学是要讲道理的。

生：第1只蚂蚁只沿着树叶的边线爬了一半，是从中间回去的。

生：2号蚂蚁没有回到出发的那个点。

生：3号蚂蚁爬的比一周多了一点。

师：所以只有4号蚂蚁是（慢速）沿着树叶的边线，爬了一圈后又回到出发的点，它爬过的路线正好是树叶的一周。（教师板书：从一点出发、沿着边线、一圈后回到出发点几个关键词）

2.摸一摸，体验一周。

师：你能摸一摸自己数学书封面的一周吗？

师：谁来摸一摸这个长方形黑板表面的一周？（一生上黑板演示）

师：你们摸的跟他一样吗？

生：我出发的点跟他不一样，但每个地方我都摸到了。

教师总结：无论从哪个点出发，只要沿着黑板的边线又回到这个点，我们摸的就是黑板表面的一周。

3.描一描，内化一周。

师：你能用笔来描出这片树叶的一周吗？（一生上黑板描绘，其他学生在座位上用手指比画描绘）

师：翻到教材第83页，用彩笔描出下列图形的一周。

（学生动手描绘，教师请三位学生上讲台展示）

师：想象一下，如果只留下描出来的边线，留下的是什么图形？

（教师用PPT动画呈现描绘的过程和结果，和学生一道回顾规则图形的名称，并有意呈现一个没有封口的图形）

师：你能把这些图形分一分类吗？

生：能封口的分为一类，不能封口的分为一类。

师：像这样，从一点出发，终点不是起点的图形我们把它叫作不封闭图形，而能回到起点的图形叫封闭图形。

师：孩子们，伸出你的手指，我们一起再来描绘一下这些封闭图形的一周。

（评析：围成物体表面的封闭曲线一周的所有长度或封闭的二维图形一周边线的长度叫作周长。在周长概念的建立过程中，认识“一周”是至关重要的一步。对于绝大多数三年级学生来说，他们对图形的感知和认识经常会把注意的中心放在图形的大小、形状甚至颜色上。在此环节，教师设计了蚂蚁爬树叶这样一个有趣情境，引导学生关注物体表面的一周，设计了丰富多样的活动，学生通过辩一辩、摸一摸、指一指、描一描等活动，实现了对物体表面和封闭图形“一周”的认识和学习，为下边周长概念的学习打下了基础。）

三、操作、比较，在活动中建构周长

（教师呈现课件）

1.分析问题，引出周长。

师：找到一周了，蚂蚁和瓢虫就要展开爬一周的比赛：蚂蚁爬①号图形的一周，瓢虫爬②号图形的一周。先伸出手指分别描一描①号图形和②号图形的一周。想一想它们谁爬的路线要长一些？（学生用手指描绘并展开讨论，有的说蚂蚁爬的长些，有的说瓢虫爬的长些，还有同学说是一样长）

师：数学是讲道理的，要判断蚂蚁爬的长还是瓢虫爬的长，我们就要动脑筋探究知道①号图形和②号图形的一周到底有多长。（教师在黑板上写出“一周的长度”）

2.解决问题，比较周长。

师：我们怎样知道一个图形一周的长度呢？仅仅用眼睛看行吗？数学是要讲道理的。

生：用尺子量。

师：然后呢？

生：还要比一比。

师：哦，我懂你们的意思了，先要量一量，再算一算，然后再比一比。（学生齐读小组合作提示，教师给每个小组发放任务单，提醒学生遇到困难可以找老师帮助）

师：有一个小组遇到困难了，这个弯曲的边线怎么量？谁有办法解决？

生：可以用软尺。

师：你们都有软尺吗？我这里给同学们准备了一些细线，有需要的可以找老师。（学生测量、计算，教师巡视指导）

师：接下来我们请两个小组分别汇报一下两个图形测量的结果。（第一小组汇报每条线段的测量结果）

师：根据第一小组的汇报，结合任务单上的提示，你们有没有不同意见？

生：他们测量了，但没有计算。

生：他们没有取整厘米。

师：这就提醒我们在解决问题的过程中要注意审题。（教师请第二小组同学汇报）

师：根据第二小组同学的汇报，你们同意吗？

生：还要比一比。

师：那根据他们测量的结果，比一比谁爬的路线要长些。

生：瓢虫。

师：在测量这段弯曲的边线时，我们用细绳去比，然后把细绳拉直了用直尺量，我们就把曲线段转化为了直线段从而得到它的长度（教师板书：化曲为直）。在测量这段弯曲的线段时，我听到有不同的意见，差别还比较大，那究竟应该怎么测量呢？我们来看一个视频，看看她的测量方法。

教师播放微视频，展示一个同龄伙伴正确的问题解决全过程。

教师总结：对于曲线的长，我们先用细线围，然后用直尺量细线的长，得到曲线的长，最后再把所有的边线长度加起来就得到了图形的周长。

3.反思总结，内化周长。

师：在这个过程中为什么要把几条边的长度相加呢？

生：如果不相加就不能得到它的周长。

师：谈到了周长，那你说一说什么是周长呢？

生：周长就是物体一周的长度。

师：还有不同意见吗？

生：周长就是封闭图形一周的长度。

教师总结：周长就是物体表面一周或封闭图形一周的长度，要把所有的边线长度加起来。

师：1号图形的周长是多少？

生：25厘米。

师：瓢虫沿着2号线路一共爬行了26厘米，那这个26厘米表示什么？

生：表示瓢虫爬行路线的周长是26厘米。

生：从一个点出发再回到这个点的周长。

师：26厘米既表示瓢虫沿着2号线路爬行一周的长度，也表示②号图形的周长。

师（总结）：周长就是图形一周边线的长度逐个地加起来，原来周长就是这么回事。

（评析：数学概念具有对象和过程的二重性。周长概念也不例外，当我们把周长看成是一个对象时，它是封闭图形一周的长度，是一个结果；当我们把它看作是一个过程时，我们关注的是如何得到周长，此时丰富的数学活动则蕴含其中。教师在这个环节首先呈现了一个大背景，设置了一个大问题：一只蚂蚁与瓢虫沿着不同图形的边界爬行比赛，要看谁爬的路线长。大背景展现了周长概念产生的意义，大问题为学生小组合作学习、探究性学习、培养学生用数学的方法解决问题提供了良好的载体。同时教师也为学生的自主探索、合作学习留下了充足的空间和时间。合作学习提示为学生的操作、自主活动提供了支架，教师的相机指导、适时介入又为学生的有效探索提供了保障。学生在经历量一量、算一算、比一比等数学活动中，在解决问题的过程中，感悟了数学思想方法，体验了周长概念自然地形成和凝炼的过程。同时教师创造性地把微视频引入课堂，通过展示同龄伙伴正确的解决问题的过程，帮助学生查找问题、总结反思。）

四、多角度辨析，理解周长

1.排除图形大小的干扰。

（教师呈现课件）

师：瓢虫知道了自己爬的路线要长一些，很不服气，它们又接着比赛爬3号、4号图形的一周，瓢虫可细心了，还测量了自己的路线。你能比较它们的周长吗？（学生讨论，有的说蚂蚁的长些，但很快学生都统一认为两者是一样长的）

师：数学是讲道理的，认为蚂蚁爬的路线长些的同学说说你的道理。

师：开始的时候，我也觉得蚂蚁爬的要长些，是什么原因导致我错误的想法呢？

生：感觉蚂蚁爬的这块图形要大些，但经过计算，这两个图形的周长是一样的。

师：4号图形呢？还没有测量呀，怎么办？

生：不需要测量，因为长方形的对边相等，而中间的曲线都要经过，所以它们爬的长度是一样的。（教师让一学生上讲台对照PPT进行解释）

师：所以不要被表面现象所蒙蔽，那你觉得计算周长是要看边线还是中间？

生：看边线。

师（总结）：周长是图形边线长度的总和，与这个图形的大小没有关系。

2.弱化形状的干扰。

（教师呈现课件）

师：接下来，我们要挑战一下。你有什么发现？

生：它们都是封闭图形。

生：这三个图形的周长是一样长的。

师：若一根小棒的长度是1分米，那这三个图形的周长分别是多少呢？

生：长方形的周长是8分米，正方形和三角形的周长也都是8分米。

师（总结）：太棒了，周长是图形边线长度之和，跟这个图形是什么样子的没有关系。

3.增加线条的干扰。

（教师呈现课件）

师：这是一个长为2米的长方形，它的周长可能是多少米呢？把你的想法在小组里说一说。

生：6米。

师：其他同学同意吗？为什么是6米呢？

生：长方形的对边一样长，所以下头的这条边也是2米，2米加2米等于4米，还有另外两条边没有加，所以这个长方形的周长不可能是4米，也不可能为2米，只能是6米。

师：这名同学已经用到了排除法，非常棒。

师：如果它的周长是6米，那它的宽又是多少米呢？

生：1米。

师：为什么是1米呢？把你的道理讲一讲。

生：因为周长为6米，减去4米还剩2米，再除以2就是1米。

师：如果我们把这条蓝色的宽移到长方形的中间，请问这个大长方形的周长是几米呢？

生：4米。

生（众）：6米。

师：计算大长方形的边长，需不需要中间的这个宽，如果我再画两条有影响吗？因此计算图形的周长我们一定要紧紧抓住图形的边线这个要素。

4.拼组图形，强化周长。

（教师呈现课件）

师：①号图形是边长为1厘米的正方形，②③④⑤都是由这个正方形拼成的图形，这5个图形的周长分别是多少呢？（学生解答，教师相机指导）

师（总结）：看来，周长也并不是简单地加一加。

师：继续观察，③④⑤号图形都是用这样的小正方形拼成的，它们有什么相同和不同的地方？

生：③号、④号图形格子个数不一样，但周长一样，都是8厘米。

生：③号、⑤号图形格子个数一样，但周长不一样，5号是10厘米。

师（总结）：是的，我们得时刻提醒自己，周长是这个图形一周边线的长度，不要被这个图形的大小、形状、里面的线条、图案、拼的个数等迷惑，还要注意把它们的边线都加起来。

（评析：周长概念的深入理解离不开应用：计算图形的周长。但计算并非本节课的核心，计算是为了帮助学生深化理解周长概念的意义和实质。周长的计算是小学阶段第一次在概念的基础上进行的计算和推理活动，对学生来说是一个难点。难在学生计算受到图形形状、大小、无关线条干扰时，会凭借自己的感性和直觉来处理相关数据。教师在此环节通过不同情境中的周长计算问题，设计了图形大小干扰、形状干扰、线条干扰以及组合图形周长等问题，以帮助学生领会周长的实质，培养了学生数学推理的意识以及理性思考的习惯，为后面计算图形的周长打下了坚实的基础。）

五、对接生活应用，体验周长的价值

师：通过刚才的探究，我们知道了物体表面或者封闭图形一周的长度就是它们的周长。那周长在我们生活中有什么用呢？（教师课件展示美化黑板、量腰围或头围等情境）

师：美化黑板，要给黑板贴上花边，要先计算黑板的周长才知道要买多长的花边。买裤子，要知道腰围，要先测量腰的周长。做衣服、裤子、帽子等要测量胸围、腰围、臀围、头围……

回家量一量爸爸、妈妈和自己的四围。

师：课后，大家都到生活中去找一找，看哪些地方还用到了周长的知识。

（评析：用周长去解决生活中的问题，这体现了数学源于生活又服务于生活的理念，体现了数学的价值。）

六、总结：回顾、思考——引出新的问题

师：关于周长，你知道了什么？请大家看书勾画。关于周长，你又有什么新的思考？让我们带着思考，在生活中继续探究与周长有关的问题。

（评析：回归教材，既理性总结，又帮助学生形成完整认识，同时启发学生带着思考走出教室。）

【总评】

总的来看，本课是一节非常成功的小学数学概念课，其最大的特点是围绕周长概念，教师设计了丰富的、形式多样的活动，让学生充分感知、感悟、体验周长的意义，在问题的探索、解决过程中有效地突出了周长概念的实质。教师的教学始终围绕“一周在哪里”“一周有多长”“周长有什么用”三个问题展开。在“一周在哪里”这个部分，教师分别围绕实物表面的一周（如树叶、数学课本、黑板等）和封闭图形的一周（又分为规则图形：如三角形、长方形、圆形，不规则图形：如描绘树叶边缘留下的图形，瓢虫和蚂蚁爬行比赛线路图形，组合图形：一个正方形拼成的不同组合图形等）设计了辨一辨、摸一摸、描一描、指一指等活动，引导学生关注一周、感知一周、体验一周，这些活动为学生建立周长概念积累了丰富的表征和心理意义，为周长概念的学习打下了良好的基础。围绕“一周有多长”这一环节，教师通过设置大空间的探索问题，引导学生量一量、算一算、比一比，在问题解决的过程中，在学生的操作、探索中，非常自然地获得周长概念，顺利地解决了周长是什么这一问题。为了进一步深化学生对周长实质的理解，教师通过图形的变式，设计了图形大小干扰、图形形状干扰、图形中线条干扰以及组合图形周长等问题，学生在辨析、推理、计算中有效地把握了周长就是封闭图形或闭合曲线一周所有边线长度的和这一实质，明白了周长与图形的大小、形状、颜色没有关系，为后续进一步学习周长的计算奠定了基础。在“周长有什么用”这一环节，教师通过列举生活中美化黑板边缘购买彩带、做衣服要量胸围、做裤子要量腰围臀围等展现周长在生活中的应用，并要求学生课后继续思考周长在生活中还有哪些应用。教师设计的教学活动始终围绕周长概念的意义和关键属性，有效地突出概念的实质。

（四川省乐山师范学院数信学院 614004

四川省乐山市教育科学研究所 614004）