概念教学之我见

董玉华

摘    要： 数学概念的形成有两种途径。其中一种就是在已有的数学概念基础上，经过进一步的比较、抽象、推理、概括等思维活动而得到的。本文就此形成途径作探讨。

关键词： 概念教学    生成概念    深化概念

数学概念是揭示现实世界的数量关系和空间形式的本质属性的思维形式。学习数学知识的过程就是一个不断运用已有数学概念进行比较、分析、综合、概括、判断、推理的思维过程。我们离开了概念，就无法对客观事物进行有根有据的思考，有条有理的分析、综合、判断、推理，也就谈不上推理能力的培养。只有加强概念教学，才能使学生在获取数学知识的同时，进一步培养各种数学能力。

一、经历比较分析，生成概念

数学概念具有高度的抽象性。由于小学生的思维水平处于成长初期，理解和掌握概念有一定困难。教学时，应当遵循学生的认知规律，结合实例，联系学生已有知识经验，自然引出概念，并在比较与分析中生成概念。在学习《用字母表示数》前，学生已经接触过一些用字母表示的计算公式和运算律，在本节课里应该开发课堂教学资源，积极重组教材，帮助学生在情境中经历知识产生的过程，在比较与辨析中感悟用字母表示数及数量关系的简洁，发展数感与符号化思想。

师：怎样用既简明又概括的方法表示出小棒的根数与三角形个数之间的关系？

生在作业纸上用自己的方式表示后全班交流。

师：这位同学是这样表示的：三角形的个数：10000，小棒的根数：10000×3。

师：你觉得这种方法表示可以吗？为什么？

生：不可以，因为这样表示不能包括所有的情况。

师：另一位同学是这样表示的：三角形的个数：有几个，小棒的根数：就有几个3。

师：你觉得这样可以吗？为什么？

生：可以。他用文字表示的，可以包括所有的情况。

师：还有同学是这样表示的：三角形的个数：A，小棒的根数：B。

师：对这种方法你有什么想法？

生：这种用字母表示的方法可以包括所有的情况。

师：比较“三角形的个数：有几个，小棒的根数：就有几个3”与“三角形的个数：A，小棒的根数：B”，你觉得哪种方法更好？为什么？

生：第二种用字母表示更好，因为它更简明更概括。

师：老师还发现这位同学是这样表示的：三角形的个数：A，小棒的根数：A×3。

师：你觉得这种表示方法行得通吗？

生：可以，因为小棒的根数是三角形个数的3倍，所以可以用A×3表示小棒的根数。

师：比较“三角形的个数：A，小棒的根数：B”与“三角形的个数：A，小棒的根数：A×3”，你觉得哪种方法更好？为什么？

生：用“三角形的个数：A，小棒的根数：A×3”更好，因为这种方法更概括出了三角形个数与小棒根数之间的关系。

师：这里“A”表示什么？“A×3”表示什么？

生：A表示三角形的个数，“A×3”表示小棒的根数。

师：“A×3”还表示什么？

生：“A×3”还表示小棒的根数是三角形个数的3倍，也就用“A×3”表示出了小棒的根数与三角形个数之间的关系。

师：字母A可以表示一个数，A×3可以表示数量关系。

师：字母A可以表示哪些数？

……

从具体的数到字母表示数是一次飞跃，对学生来说是，这一过程是抽象的，理解起来也是有困难的。“怎样用既简明又概括的方法表示出小棒的根数与三角形个数之间的关系”这一问题，引发学生的认知困惑，促使学生跳出原有的认知结构，寻找新的解决方法。在解决问题的过程中呈现了多种不同的方法，充分利用学生的生成资源，有层次地展示学生的生成，从不概括到概括，从不简洁到简洁的分析与比较中，让学生感悟用字母表示数及数量关系的简洁。

二、经历实验验证，深化概念

我们要让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。学习数学知识的过程就是一个不断运用已有的数学概念进行比较、分析、综合、概括、判断、推理的思维过程。只有循着学生已有知识的起点，才能帮助学生有条有理地分析、判断、推理，进一步深化概念。

认识了一幅三角尺的内角和各是180度后，师：任意一个三角形的内角和是多少度呢？

生：我觉得是180度。

师：你打算怎样证明任意一个三角形的内角和是180度呢？

请小组讨论，然后证明。

生：我们是用量一量的方法，量出三角形每个角的度数，然后再相加。我手中的这个三角形的内角和是50°+70°+60°=180°。

师：还有其他方法吗？

生：我们也是量的，可是我把三个角的度数相加的算式是：45°+70°+60°=175°。

师：都是先量出三个角的度数再相加，为什么有的是180°有的却是175°？

生：因为在量的过程他可能读错刻度了，也可能是出现了误差。

师：由此可见，量出三个角的度数再相加有的时候不那么精确，易出现误差。那还有其他方法吗？

小组再讨论。

交流。

生：我们想了个方法，把三角形的三个内角撕下来并拼在一起，发现正好拼成一个平角，而平角就是180°。所以我们手中的三角形的内角和是180°。

师：你们觉得这种方法怎么样？要不要给他们一点掌声呢？（掌声）

师：还有其他方法吗？

生：我们也想到了一种方法，也是要把三个内角拼成一个平角，只是我们没有把三个内角撕下来，而用折一折的方法把三个角折在一起拼成一个平角。所以我们手中的三角形的内角和也是180°。

师：你们听懂这种方法了吗？比较这两种方法都有什么相同之处？

生：这两种方法都是把三个内角拼成一个平角，只是一种是先撕再拼，一种是先折再拼。

师：是的，这两种方法都是把三个内角转化成一个平角。（转化）

师：那此时我们来看一看刚才量出内角和是175°的三角形，用折拼的方法来看看内角和是不是180°？

生：是的，折一折、拼一拼后内角和的确是180°。

师：刚才同学们用量一量，撕拼，折拼的方法证明了三角形的内角和是180°，你更喜欢哪一种方法？为什么？

生：更喜欢折拼。

生：更喜欢撕拼。

师：是不是任意一个三角形的内角和都是180°呢？你想怎样证明？

生讨论再交流。

师：先自己任意画了个三角形再剪下来，最后选择你喜欢的方法，来看看任意一个三角形的内角和是不是180°。

……

那是不是任意一个三角形的内角和都是180°呢？很显然需要我们证明。以学生的知识起点首先想到的是量然后再相加，这是最基本的方法，放手让学生量一量再相加发现有的相加后正好是180°，有的量一量再相加却不是180°，可能会比180°少也可能会比180°多一些。这时该怎么办？启发学生另辟蹊径，通过撕拼或折拼可以证明手中三角形的内角和都是180°。量和撕拼的方法并不是同时出现的，而是在学生通过量一量的方法后发现不那么精确的前提下，才有需要找到更好的方法证明三角形的内角和是180°。学生在经历猜想、推理、证明的过程中逐步明确了三角形的内角和是180°，不仅进一步认识到任意一个三角形的内角和都是180°，而且学会了遇到问题如何解决的方法，此时学习到的不仅是数学知识，更是解决问题的方法。

总之，只要抓好有效教学的起点，依据学生学习的基础，在比较分析中引导学生共同参与，多层次地呈现学生的学习资源，激发学生自主探索，生成概念，让数学概念与学生的思维产生共鸣，深化概念。