关于初中数学开放性问题的几点认识

张颖

摘 要： 数学开放性问题，对学生具有挑战性和探究性，是最富有教育价值的一种数学题型，也是近年来各类升学考试的热点.通过对典型考题特征的分析，有针对性地提出解题思路和方法.

关键词： 初中数学 开放性问题 解题策略

当今的数学课堂倡导以学生为主体，赋予他们独立思考的自由和空间，培养学生具备更高数学素养和更强的创造力.数学开放题正是能体现这种价值，把纯粹解题的过程演变为学生通过探究形成自己思维的过程，是数学综合素质的一种反映，对促进学生养成多层次、多方面思考的习惯有很大的帮助，已经被引入了各地中考中。但是很多情况下，这也是他们最头疼的、最害怕解决的问题.笔者在多年的初中数学提优辅导中深刻地认识到这点，并积累了一些经验，与大家共同探讨.

首先什么是数学开放性问题？它是相对传统的封闭题目而言的，指条件和结论不完备或不确定、解题策略多样化的题目，大致可分为条件开放、结论开放及条件和结论都开放的三种类型，具有一定的难度，对学生的观察、类比、归纳、猜想、实验能力提出了较高的要求.下面例析两种常见题型的解题策略.

一、猜想开放型

所谓猜想是指根据现有的材料和信息，对研究的对象先进行观察、比较和分析，作出有道理的想象，从而发现隐藏的规律.教师在平时教学中教法要灵活，可以设计一些类比性的活动，让学生有实验的经历，培养他们的耐心，能不厌其烦地通过对大量特殊情形进行观察，敢于想象，积累发现规律的经验.

例1：如图1，是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形.照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（ ）

上面三个五角星中都各有三个深色的三角形，其中一个单独的与另两个相邻的三角形相对，如果把三个深色三角形作为一个整体，闪烁一次，可看做是顺时针旋转144度（也就是与原来的隔一角）.猜想题最忌讳毫无章法，胡乱猜测，一定要循序渐进，做到有章可循，就可以从题目初始的几种情形中发现重要信息，从而实现轻松解题.本题以现有的三个图形中深色三角形的运动变化为载体，借助几何直观的思维形式，探索在此过程中它们之间存在的相互依存关系，考查了学生的形象思维和抽象思维.

二、条件开放型

此类问题是指结论已知，而条件需探求，并且具有开放性.解决办法通常采取由结果入手追溯原因的探索方式.这类题型虽然考查的都是基础知识，但是给学生较大的思考空间，不能被动地套用解题模式，而应在问题情境中创造性地解决问题.

例2：在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2）.

（1）若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：______；设点B，点C的坐标分别为（m，0），（n，0），你认为m，n应满足怎样的条件？

（2）若底边BC的两个端点分别在x轴，y轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：？摇？摇 ？摇？摇；设点B，点C的坐标分别为（m，0），（0，n），你认为m，n应满足怎样的条件？

分析：可以通过等腰三角形的作法探求符合题意的条件：由于AB=AC，故点B和点C在以A为圆心的同一个圆上.（1）如图2（a），作AE⊥x轴于E，以大于AE的长度为半径画弧，与x轴的交点即为符合题意的点B和点C.易知E（2，0）为线段BC的中点，故CE=EB，即n-2=2-m；（2）类似于（1）作⊙A，与两条坐标轴分别交于B1，B2，C1，C2，显然当A，B，C三点不共线时这样确定的点B，C均符合题意.

在许多数学试题中，有时单从数字中很难看出什么眉目，但如果能有意识地从“形”的角度联系起来进行分析，往往会收到出奇制胜的效果.本题是数形结合反映规律，重复出现的图形反映出数字所具有的规律，要求解数字问题，关键还在于找出其中包含的“变中不变”的特殊情况.所谓“变中不变”，对于一个对象而言，是指该对象在变化的过程中，但它的某些属性不变；对于两个或两个以上的对象而言，是指在变化过程中它们之间的某种关系不变.

开放性试题信息量大，主要特点是以某种几何图形为载体，点、线、形在图形上按某种内在联系运动的过程中引起了相关量的变化，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动，综合运用函数、方程、分类讨论、数形结合等数学思想.

笔者认为，开放性试题作为考查考生创新意识的有效手段之一，总体上讲在各类升学考试中是可行的.它使得教师在教学中必须注重解题方法和思维的训练，只有加强过程教学，才能使学生在面对开放题时，能够游刃有余，得心应手.同时可以促进学生自主研究性学习，体验数学思想方法的形成过程，增强数学应用意识，有效考查考生的学习潜质.但也不可一味地追求更高更难的境界，使数学考题沦为奥赛题，失去有效提高教师教学水平、学生学习数学的兴趣和自信心.