知识、能力、意识

数学可以分为三个层面，即知识、能力、意识.代数、几何、微积分学均为数学知识.过去我国提出的数学能力是：基本运算能力、逻辑思维能力和空间想像能力.后来数学教学大纲又提出了分析和解决问题的能力.2000年美国数学教师协会发布的《数学课程标准》中，提出了六种能力：（1）数的运算能力；（2）问题解决能力；（3）逻辑推理能力；（4）数学联结能力；（5）数学交流能力；（6）数学表达能力.数学联结能力是指，把问题的各种要素和其它知识联结起来，使用数学方法寻找解题的策略.

意识是对知识融会贯通后的感悟力.美国教育学家Liliankafz解释意识是“相对稳定的思想意识习惯”.清朝学者袁枚说：“学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄.”他解释了“知识”、“能力”、“意识”三者的关系，指出了意识是灵魂.实际上，数学意识是用数学的立场、观点和方法处理问题的思维方式，表现为理解数学的价值、欣赏数学的美丽和知道应用数学的门径.20世纪50年代，笔者在中国科学院数学研究所访问进修.记得我们到中国农业科学院了解数学应用情况时，麦作研究室的同志向我们提出了一个问题，为了研究光合作用的影响，需要计算麦苗的面积.印度有个经验公式，即测量麦苗的最长部分a和最宽的部分b，然后用公式a×b1.2求出麦苗的面积，并提出这个公式是否合理.当时因为我们都在学习概率统计，讨论后得出一个办法：采集一部分麦苗，一方面使用求积仪测出它们的面积，另外用上述经验公式算出它们的面积，后用统计检验方法，如果没有显著性差异，则认为该公式可用.时任数学研究所所长的华罗庚看了我们采集的麦苗后，即指出印度的经验公式可用，因为麦苗大致在三分之一处收尖，因此麦苗面积可由一个近似三角形和长方形组成，简单计算后，即得经验公式a×b1.2.1958年，运筹学传入我国后，山东数学工作者纷纷走出校门，到生产部门寻找合作，特别是将“图上作业法”用于交通运输部门，在众多运筹学推广队伍中，山师的管梅谷慧眼独具，将一笔划问题和图上作业法完美地结合，给出了“奇偶点图上作业法”.王元院士在《华罗庚》一书中写道：受到“图上作业法”的启发，山东师范学院青年教师管梅谷提出了这一数学模型，并根据欧拉关于奇偶点理论，给出了最短路线的一个类似于“图上作业法”的判别法.邮递员投送信件及大城市垃圾车收集垃圾的行驶路线设计都符合管梅谷提出的数学模型.外国文献称之为“中国邮递员问题”.国外有不少数学家又简化与发展了管梅谷的工作，华罗庚很赞赏管梅谷的贡献，称他为“山东第一条好汉！”上述两件事反映出不同数学意识人之间的差异，正是行家一出手，便知有没有.

数学意识还表现在对数学规律的“好奇”与“发现”，对数学问题解决的“迫切愿望”和对数学完美的追求，陈景润对歌德巴赫猜想十年如一日的苦苦追求，正是追求数学完美的典型.“好奇”、“发问”又是人类创新的灵魂，美国有位大学校长幽默地说：一个人大学毕业时，如果认为自己什么问题都懂了，可授他学士学位；如果认为自己有一些问题弄懂了，有些问题还没弄懂，可授他硕士学位；如果认为自己什么问题都没弄懂，可授他博士学位.

了解知识、能力和意识的关系，将有助于我们学好数学.学习数学不仅要掌握各种数学知识和解决数学问题的能力，更重要的是要用心思考，细想出智慧，细嚼出滋味，“学而不思则罔.”要从数学中吸取正能量，“数学使人聪明”、“数学使人精确”、“数学使人完美”.德国哲学家赫巴特指出：“数学最大的贡献是直接促进严谨思维和创新精神.”你学到的具体数学知识可能在工作中用不着，但是数学意识会伴你度过咸淡一生，无时不有，无所不在，让你终生受益.

了解知识，能力和意识的关系，也将帮助我们提高数学教学质量.一般认为三流教师教知识，二流教师教能力，一流教师教意识.数学教学活动的效果在三个层面上未必是一致的，在极端应试教育下，死记硬背模式仿效的教学，能使学生产生厌倦情绪，对学生的长期潜力是一种伤害.教师应把培养意识作为终极目标，启发学生在思想层面的思考，并从中寻找愉悦和成就感，让学生永远心怀好奇、自信去探索人生的深度.

作者简介 章志敏，1957年毕业于华东师范大学数学系，分配来曲阜师范学院工作，曾任曲阜师范大学教授，本刊首届编委会主任.

长期从事数理统计与决策分析的研究和教学工作，获国家教委优秀教学成果二等奖、山东省教委科技进步一等奖和国际运筹学进展二等奖.1983年被评为山东省优秀教师，1987年获全国教育系统劳动模范证书和人民教师奖章，1992年获政府特殊津贴.