推广Klein－Gordon方程新的精确行波解

马云峰，高发玲

(青岛理工大学琴岛学院)

0 引言

Klein－Gordon方程出现在相对论、量子力学、旋转波及非线性光学等理论中.它描写自旋为零的标量粒子的相对性，由于粒子没有自旋、只有一个分量，描述spinless颗粒.若u代表相对论的自由粒子能量，则Klein－Gordon方程可以从相对论性质能关系和薛定谔方程中得到［1］.

研究非线性偏微分方程中精确解问题的方法甚多，如齐次平衡法、扩展的(G'/G)展开法、双曲函数法、扩展的F－展开法、扩展的辅助方程法等［2－6］，通常采用的辅助方程法为三角函数型，椭圆型，Bernoulli辅助方程法等［7－10］.非线性方程具有特殊性，不可能用一种方法求出所有方程的精确解，所以对特定方程选择合适的方法求精确解显得尤为重要.

考虑推广的Klein－Gordon方程为

其中α为实常数;β，γ＞0为实常数;n1，n2为正整数且u=u(x，t):R×R→R是未知函数.方程(1)中，当n1=1，n2=3时整体解的存在性、精确解的求法及解的性质已有较完善的结论［11－13］.但对推广的 Klein－Gordon方程(1)的精确解求法的研究，还未得到展开.该文尝试用扩展的椭圆型辅助方程法求精确行波解，因n1=2，n2=1时的精确解已解决，在此不予讨论.

1 扩展的椭圆型辅助方程法［14］

该文利用辅助常微分方程来构造推广的Klein－Gordon方程精确行波解，主要步骤如下:

非线性发展方程的一般形式可以写为其中，N是关于变元u，ut，ux，utt，uxt，uxx，… 的多项式.

引入行波变换

其中ω是非零的待定常数，可将(2)式方程转换为仅关于变量ξ的标准的常微分方程

为了得到方程的精确解析解引入z(ξ)，z(ξ)满足

该常微分方程有以下解:

引入两个基本函数f和g，其中r为待定常数，

显然，函数f和g满足以下关系

假设常微分方程的解u(ξ)是一个关于f和g的n阶多项式，即

其中，系数ak和bk为待定常数，且ak+bk≠0，n由齐次平衡法来确定.

将(3)式中构造的n阶多项式代入(1)式的常微分方程，结合(6)式使得所得方程的各项中只有f和g的幂次项，合并f和g的同次幂项并取系数为零，就可以得到一个包含所有待定系数的非线性代数方程组.并对该方程组，用吴文俊消元法确定所有的待定系数，最终可得到非线性波动方程的精确行波解.

2 求精确行波解

根据以上介绍的扩展椭圆型辅助方程法，对推广的Klein－Gordon方程进行求解.(1)式对应的常微分方程为:

平衡方程(8)的最高阶导数项和具有支配地位的非线性项中，不妨设n1≥n2，则根据平衡原理知又n1和n1均为正整数，其中一种情形为:

此时方程形式为:

其对应的常微分方程为

因为n=1，所以上式解的形式可以写为

将(5)、(11)式代入方程(10)，令多项式

fj(ξ)gk(ξ)的系数为零，可得一个包含所有待定系数的非线性代数方程组，求解得:

3 具体精确解

对解(17)进行数值模拟得图1.

图1 数值模拟图

4 结束语

该文通过推广的椭圆型辅助方程法，求推广的Klein－Gordon方程:utt－α2utt+βun1－γun2=0(1)的精确行波解，通过应用齐次平衡原理确定n1，n2的取值，进而对不同取值进行求解，对所求解代入特定值画图，进一步明确解的性质.椭圆型辅助方程法可以对推广的Klein－Gordon的各种形式进行求解，并且能够对f(ξ)和g(ξ)取一般形式的解进行讨论，具有一般性，该文的方法也适用于其他方程求精确行波解.

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