圆锥曲线求值问题中的奇思妙解

杨美

在圆锥曲线数值问题中，如何结合题目条件，根据圆锥曲线的定义、性质以及相应的思维方法来分析与处理是解决问题的关键.下面结合实例就圆锥曲线中数值问题的巧解加以实例剖析.

一、妙用定义，巧求未知量

圆锥曲线的定义揭示的是各对应的曲线的本质属性.对于涉及的圆锥曲线中的参数问题，若能巧妙灵活应用定义，往往能达到化繁为简、事半功倍的效果.

例1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点距离等于5，求抛物线的方程和m的值.

分析：解答本题可以直接利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得出有关p的关系式，从而求出p的值.

解析：设抛物线的方程为y2=-2px（p>0），则焦点F（，0）准线方程为x=，根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是点M到准线的距离等于5，

则有3+=5解得p=4，因此抛物线方程为y2=-8x，

又点M（-3，m）在抛物线上，代入有m2=24，解得m=±2.

点评：利用圆锥曲线的定义来处理一些有关的参数问题能使列式和解答简洁方便，避免繁琐的计算过程，能更好地充分体现圆锥曲线的定义在转化问题中的作用，真正达到巧妙转化、合理处置的目的.

二、妙设变量，巧求面积

涉及圆锥曲线的定义与标准方程有关的问题时，如何在实际解答过程中回避复杂的计算，成了处理这类问题的难点和关键.“设而不求，金蝉脱壳”是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.

例2.F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，试求△F1PF2的面积.

分析：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用PF1+PF2=2a解决.同时注意利用解三角形的相关知识加以综合.

解析：由题知：a=7，b=2，c=5，设PF1=m，PF2=n，

由椭圆定义可知m+n=2a=14，又由于PF1⊥PF2，则有m2+n2=F1F22=102=100，那么2mn=（m+n）2-（m2+n2）=142-100=96，即mn=48，所以S=mn=24.

点评：通过设出椭圆上的点到焦点的距离，引进m，n，将距离符号化，既方便书写，又便于运算.这种“设而不求，金蝉脱壳”的整体思想在解题中常常被广泛应用.

三、妙引参数，巧求最值

对于圆锥曲线中的某些最值范围问题，有时用参数方程要比用普通方程更方便，除能简化解题过程外，在培养学生解题的针对性和灵活性方面大有益处.

例3.在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.

分析：通过把椭圆的直角坐标方程转化为相应的参数方程，结合对应的表达式转化为三角函数的最值问题再加以分析与求解.

四、妙用判别式，巧求范围

圆锥曲线方程是二次方程，在解决圆锥曲线变量的取值范围时，通过函数与方程思想，根据题中隐含条件，将问题化归为一元二次方程模型后，妙用根的判别式可以巧妙快捷地求出变量范围.

例4.已知抛物线y2=x上存在两点关于直线l：y=k（x-1）+1对称，试求实数k的取值范围.

分析：设出抛物线上关于直线l对称的两点A、B的坐标，根据对称性建立相应的方程组，得到涉及y1+y2，y1y2的关系式，结合根与系数的方程得到对应的方程有不等实根的充要条件，转化为判别式法来分析与处理.

点评：本题涉及直线与抛物线的位置关系中的变量的取值范围问题，通过方程有不等实根的充要条件的转化，巧妙地把几何问题转化为代数问题，从而达到求解参数的取值范围的目的.构思新颖，方法巧妙.

五、数形结合，巧求离心率

著名数学家华罗庚说过：“数形本是两相倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”在圆锥曲线中的许多基本量都具有一定的几何意义，挖掘题目中的隐含条件，揭示图形的几何性质，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应的参数问题.

点评：数形结合的思想是数学重要的思想方法之一，其实质就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.其具有直观性、灵活性、深刻性，能够跨越各知识点的界限，有较强的综合性.利用数形结合来求解参数问题，解答更形象、直观，一目了然.

总之，定义法、判别式法、参数法以及设而不求、数形结合、函数与方程等思想是解题求值问题中常用的思想方法.根据问题条件灵活地应用，可摆脱生搬硬套，形成低耗高效的奇思妙解.