基于《基本不等式的证明》复习课的案例分析

孙丽娟

一、背景介绍

2015年4月20日，省级名师工作室成员到我校开展教学诊断与指导活动，我很珍惜这次与专家“零距离”的接触，在课前进行了认真的教学设计，并准备了几个疑难问题请教他们。班级里来了客人，学生比平时更加兴奋与专注，开放性的教学问题设计，民主和谐的课堂氛围使学生能带着自己的知识、经验、思考、灵感参与课堂活动，从而使课堂呈现出多变性和复杂性，并有了更多的“生成性资源”，这为课后的交流提供了丰富的素材。

二、情境描写

重要不等式a2+b2≥2ab的直接证明：

课堂问候礼后，我直接出示问题1：如何证明基本不等式a2+b2≥2ab？看到学生迷茫状，我补了一句：回忆一下，不等式证明有哪些常用的方法？这下立即有了反应。

生：可以用比较法证明，作差可得（a-b）2≥0。（好简单，同学们微微点头。）

生：也可以由（a-b）2≥0推得a2+b2≥2ab，那是……综合法。对，还有分析法。

生：我觉得反证法也行！（真的，学生笑开了。）

学生齐答，我板书分析法：

要证a2+b2≥2ab，

即证a2+b2-2ab≥0，

只要证（a-b）2≥0，这显然成立，

所以，a2+b2≥2ab成立。

三、分析与反思

1.数学公式、定理的教学与复习应关注哪些方面

基本不等式a2+b2≥2ab可看成是数学公式和定理，平时在教学和复习数学公式和定理时容易产生“掐头去尾烧中段”的情况，也就是“一背二套”“公式加例题”的形式，这种形式的教学往往使学生头脑里只留下公式、定理的外壳，忽视它们的来龙去脉，不明确它们运用的条件和范围。事实上在公式与定理的教学与复习时应关注：本源、推导（证明）、限制条件和特例，变形与联系，应用等。通过教学与复习，应使学生达到以下目标：（1）要用准确的数学语言表述公式与定理的内容，明确其使用的条件和适用的范围；（2）要正确地掌握其证明及推导方法，并适当变形，联系其他知识构造再证明；（3）要探讨对一些重要的公式和定理能否作适当的引申与推广；（4）整理公式与定理的应用规律。我们在教学中，必须以适当的方式将公式和定理的发生、发展、变化过程展示给学生，让学生通过自主学习获取知识，并领悟公式和定理所包含的数学思想方法，灵活地掌握知识，应用知识，达到提高分析问题，解决问题的能力。

2.复习课中如何设计“三基”训练

在设计复习问题时，既要关注知识交叉点的训练，又要注重问题的能力立意，同时不忘解题技能练习和书写规范，最后强调解题后的反思，悟出阶梯策略、思想方法的精华。本课在复习基本不等式a2+b2≥2ab的同时，设计了不等式的4种基本证明方法（比较法、综合法、分析法和反证法）及相应的表述训练，强化数形结合思想，函数、方程与不等式的联系与转化能力的应用，加深对代数、几何、三角、向量等数学知识相关性的理解。总之，复习课教学内容的选择上应按学生的认知规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开，既考虑知识的广度与联系度，又关注课堂学生的思维、能力、思想方法的训练量，提高综合运用知识解决问题的水平。