谁之过？

刘华为

拜读了钱德春老师发表在《中学数学杂志》（初中版）2014年第8期上《试题编制，一门遗憾的艺术——2014年泰州中考数学第25题的分析与反思》（以下简称文[1]）一文后，深受启发，特别对如何以“源于教材又高于教材”为立意、以“考查学生基本知识、数学思想、思维品质和发展学力”为指导思想进行命题，有了深刻认识.但也有一些不同的想法，愿得到广大同仁斧正.

1 试题与回顾

图1如图1，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-34x+b（b为常数，b>0）的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E的上方.

（1）若直线AB与弧CD有两个交点F、G.①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；

（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

文[1]指出，本题满分虽为12分，可中考均分仅为2.86，与命题预设有相当大的差距.并从考生角度分析造成落差的原因主要有：考生由FG2只想到比例式和两点间的距离公式导致思维决策失误、对由特殊（数）到一般（字母）的数学思想理解不透引发对参数b束手无策、缺乏数感以致无法由b和34b联想到勾股数，从而错失选择正确解题方法的机会.

2 谁之过？

当中考成绩不如意时，身为教师，我们常常喜欢从学法上分析原因，却很少对自己的教法进行反思.

首先，“用含b的代数式表示FG2”就是求弦长FG，而利用垂径定理求弦长是圆的众多知识点中重中之重！如果考生连“过圆心O作OM⊥FG于M点”的辅助线都作不出的话，那么我们不禁要问：教师在平时的教学中是如何突出和落实这一重点的呢？即使有参数b的干扰，但从六年级开始就学习用字母来表示数了，为什么到了九年级，学生对这一“从特殊到一般”的数学思想依然未能理解和掌握呢？

其次，考生由FG2想到了比例式和两点间的距离公式，说明学生是睿智的，因为他们掌握了转化思想，至少能由题目的结构特征去联想处理此类问题的知识点.可惜的是：当思维受阻时，考生缺乏灵活变通的能力，想不到换一种方式解决问题（另一方面也反应考生对如何求线段的长的方法掌握不全面）.而这种思维调控力的缺失，根源又在哪儿呢？

笔者窃以为，这与教师单一的习题教学模式密不可分.据笔者调查，多数教师讲题时只局限于“怎样做”（即简单分析思路、板书解题过程），缺乏对“为什么这样做”的反思与研讨.

一般地，数学习题都是由课本的有关知识、信息、符号，通过迁移、发散和综合而来的，因此，相关问题的知识源就是解决此类问题的最佳策略和致胜法宝.如果教师在平时的教学和九年级的专题复习中，从知识溯源角度分析“求线段长”的常见方法有：转化法（利用条件找出所求线段与已知线段间的数量关系，知识源有“等角对等边、全等三角形对应边相等、三角形中位线”等）、直接计算法（知识源有“勾股定理、平面直角坐标系内两点之间的距离公式、锐角三角比”等）、列方程（组）求解（相等关系的知识源有“比例式、图形面积相等”等），并为“运用每一知识源解决问题的方法”都配备一道典型例题，引导学生结合条件灵活选择解题方法和适时调整受阻思维，从而不但知道“怎样做”，还明白“为什么这样做”，以及学会“同一类型怎么做”.那么，考生还会陷入FG2的“陷阱”，不知自我进行方法调控吗？

3 试题解读

难能可贵的是，作为命题者的钱老师从试题本身对得分率过低的原因进行了反思（详见文[1]），并认为原题应改为：

图2如图2，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数）的图像与x轴、y轴分别交于点A、B；半径为5的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E的上方.

（1）若Q为弧CD上异于C、D的点，线段AB经过点Q.①求∠CQE的度数；②用含b的代数式表示QA·QB；

（2）设b≥52，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

与原题相比，文[1]认为改编题具有“问题层次更明、关联程度更强和思路入口更宽”等特点.但笔者仔细研究了两题，从考点分析，原题比改编题更科学.因为原题考查了垂径定理（整卷其它题并未涉及此考点），突出了对圆中重点知识的考查，具有较强的导向性.而改编题却改为考查相似三角形.虽然相似三角形也是平面几何中非常重要的知识点之一，但原题在求辅助线OM长时也可用△OMB∽△AOB构造比例式求解（如图1，而且这是通法，相信绝大部分同学都会用此方法求解的），已注重了对此重点知识的考查.如此看来，改编题似乎留下了一些淡淡的遗憾.

当然，文[1]认为改编题优越在问题（1）②的设计为问题（2）打开了另一条解题思路.因为设BP=x（顺便指出，此处不宜用x，易与直线AB解析式中的x混淆），由（1）②中的结论QA·QB=b2-25类比得PA·PB=b2-25，从而得方程x2-2bx+b2-25=0，再根据此方程的解确定P的存在与否.此设想固然不错，但很可能成为命题者的一厢之愿，因为初中学段，学生几乎没有接触过用方程的解来确定点的存在性知识或习题.即使二次函数的图像与x轴的交点个数和对应一元二次方程解的个数之间的关系，教材也只是一提而过，想由此而产生知识的正迁移，恐怕只能是美好愿景.更何况此方程如此隐蔽，能有几个考生想到构造它？

另外，原题中“当直线AB与弧CD有两个交点时，要求写出b的取值范围”的设计为问题（2）的解决悄然埋下了伏笔.因为有了这个范围的启发，学生由b≥5易想到直线AB与圆O相切或相离，再结合“弧CE所对的圆周角为45°”和“三角形外角大于任何一个不相邻的内角”便可找到解题的突破口了.可惜改编题删除了此设计，更增加了问题（2）的难度.

4 我的设计

鉴于文[1]和本文的分析，笔者不揣浅陋，建议把改编题作如下修改：

图3如图3，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数，b>0）的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，半径为5的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E的上方.

（1）若Q为弧CD上异于C、D的点，线段AB经过点Q.

①当点Q的坐标为（3，4）时，求b的值，并求出此时直线AB被⊙O截得弦FQ的长；

②求∠CQE的度数，并用含b的代数式表示QA·QB（写出b的取值范围）；

（2）设b≥52，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出BP的值；若不存在，请说明理由.

增加问题（1）①的意义在于：既保留了对垂径定理的考查，又多了“运用待定系数法求参数b”的考点.而待定系数法不仅是初中数学中一个非常重要的数学方法，而且也是高中学习平面解析几何的重要基石，注重它的考查，也就是注重学生发展力的考查；其次，由于△AOB是特殊的等腰直角三角形，求辅助线OM长时只需依据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可，不需用相似三角形处理，从而巧妙地避免了考点的重复；最后，由于问题较基础，必然能大大提高本题的得分率.

另外，把问题（2）中“求点P的坐标”（此考点同卷第26题已含）改为“求BP的值”，一方面减少了计算量；另一方面为“运用方程的解确定点P存在性”的方法诞生悄然埋下了伏笔.显然，由于是求BP的值，再根据求存在性问题的特征（先假设存在点P使∠CPE=45°，再求BP的值，若能求出，则存在；否则，不存在），考生易联想到设BP=t，再有问题（1）②结论的铺垫，方程t2-2bt+b2-25=0也就呼之欲出了，从而把文[1]的美好愿景化为现实.

总之，中考命题不仅要追求形式上的和谐，也要注重考点的平衡.如此方能做到内容与形式的完美统一，成就经典之作.