平行线分线段成比例定理的再证明

吴博韬 赵倩锐

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例.

图1已知：如图1，l1∥l2∥l3，l4、l5分别交l1、l2、l3于A、B、C与D、E、F点.

求证：ABBC=DEEF.

在讲授这个定理时，老师采用的是从特殊到一般的方法进行证明，即把ABBC的比值分为正整数、分数、无理数三种情况，结合平行线等分线段定理给予证明.特别是当ABBC的比值为无理数时，采用近似值，利用逼近法进行描述性说明该定理成立.但是这种方法并非严格意义上的证明，老师说可以采用面积法巧妙证明.

课后经过认真思考与探究，发现了该定理的又一种证明方法.现利用两点间的距离公式证明如下，以供同学们参考.

图2证明 设l4，l5与l2不垂直，过点B作l6，使l6⊥l2，平移直线l5，使l5过点B，交l1于点M，交l3于点N.如图2，以点B为原点，l2为横轴，l6为纵轴建立直角坐标系.

由平移的性质，可知：MB=DE，BN=EF.

设直线的解析式为

l1：y=m（m>0），

l3：y=n（n<0），

l4：y=ax（a>0），

l5：y=bx（b<0）（a，b，m，n为常数），

所以M（mb，m），A（ma，m）C（na，n），N（nb，n），所以MBBN=（0-mb）2+（m-0）2（nb-0）2+（0-n）2=m2b2+m2n2b2+n2=1b2+1·|m|1b2+1·|n|=-mn，

ABBC=（ma-0）2+（m-0）2（0-na）2+（0-n）2=m2a2+m2n2a2+n2=

-mn.

所以MBBN=ABBC，所以ABBC=DEEF.

（若l4，l5与l2垂直，上述方法依然适用.）