“涉高题”的解法要避免涉高
2015-09-06金绍鑫
金绍鑫
近年来，中考试卷中涉及高中知识的题（简称涉高题）屡见不鲜，大有愈演愈烈之势.对此有人叫好，有人不以为然.更多的是，老师们对涉高题的解题教学困惑，讲又不好讲，不讲又说不过去，真有点左右为难.本文以近年较典型的中考涉高题为例，谈谈解题教学中的难点处置和对题目的看法.
1 “认识图像”涉高题
“认识图像”是初中数学教学的重要内容，也是中考数学试卷中的常客.某次听初三“认识图像”的复习课，遇到这样一个题：
图1如图1，AB是半圆O的直径，点P从点A出发，沿半圆弧AB顺时针方向匀速移动至点B，运动时间为t，△ABP的面积为S，则下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是（ ）.（2014年黄石）
老师让学生讨论此题.
学生1：设AB边上的高为h，则S=12·AB·h=12·2r·h=rh，这是正比例函数，所以选A.
学生2：错了.因为三角形面积由小到大，再由大到小，所以应该选B.
学生2的解答得到了部分同学的认可.
……
学生3：不对.题目问的是S与t之间的关系，而S=rh表示的是S与h之间的关系，应该设法将h换成t，但我不知道怎样换，也不知换出来是什么函数，我猜应该选C.
老师肯定了学生3“将h换成t”和选C的想法，然后讲到：
“点P在弧AB上运动时，随着时间t的增大，点P到AB的距离先变大，当到达弧AB的中点时，最大，然后逐渐变小，直至到达点B时为0.但是，点P到AB的距离的变化不是直线变化.纵观各选项，只有C选项图象符合.故选C.”
学生3的解答很不错，老师的补充讲解反而显得苍白.要想正面回答为什么“点P到AB的距离的变化不是直线变化”就该选C，本身很不容易，涉及高中知识，老师应当从选择题的特殊解法角度去讲，突出“排除法”才是正道理.至于选项C的图像是什么，是不是半圆，是不是抛物线的一部分，在此都不重要.因此，我们可以认为，这个涉高题用于中考没有什么意义，它的意图很明显，就是考排除法，不“涉高”照样可以考排除法.高中生来做这个题也会用排除法，因为写出S与t之间的关系式不容易，即便写出来了也未必知道是什么函数，不便和其对应的图像联系起来，所以此题按惯性思维用推理计算法写出S与t之间的关系式来解走不通.
再看一例.
图2如图2，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止.设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（ ）.（2013年莱芜）
和上题不同的是，此题比较容易写出函数解析式，既可以用高中知识写，也可以用初中知识写：
解法1：计算推理法.
图3如图3，M在AB段时，利用勾股定理和30°角对的直角边是斜边的一半（或者用余弦定理，涉高.）立得NM2=y=x2-x+1，（0≤x≤3）
M在BC段时，作ND⊥BC于D，NM2=y=（5-x）2+3=（x-5）2+3，（3 解法2：排除法. 因为等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，所以AN=1.所以当点M位于点A处时，x=0，y=1. ①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D； ②当动点M到达C点时，x=6，y=3-1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等.故排除A、C.故选B. 这个题的设计就比较好，它沟通了初、高中数学知识的联系，入口宽，方法多样.这样的涉高题就值得推崇.教学时可视班情决定这两种方法的取舍，或用其中一种或两种都用. 2 “阅读理解”涉高题 “如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m A.m C.a 按命题者意图解答如下： 图4方程1-（x-a）（x-b）=0转化为（x-a）（x-b）=1，设函数y1=（x-a）（x-b），y2=1，画出两函数的图象，如图4所示.函数y1=（x-a）（x-b）图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a 由m 综上所述，可知m 本题给出一个知识点，要求学生用此知识点解题（涉高），看似为学生指明了解题方向，实际上限制了学生的思维，学生误以为只能用此方法，可是，用此方法涉及到知识、能力的迁移，难度很大，学生真正能想到上述方法的不多，除非平时老师讲过，学生练过.要是拿给高中生做，只要他学过坐标平移，瞬间就能得出答案. 命题者为了考察学生阅读理解能力，追求创新题，无可厚非，但此题的教学导向可能遭到质疑，因为这样的题目一多，容易诱导教师打着“拓宽”的幌子，补充高中的坐标平移知识. 有人认为，本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想.解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算.这种观点是站在命题者的角度看问题，而不是站在初中学生的角度看问题，把一个需要很强迁移能力的解法说成“避免了繁琐复杂的计算”，认为按命题者方法求解很容易，这种说法有失偏颇.
事实上，此题计算并不繁琐复杂.不用题目指引的方法也很容易得出正确选项.利用方程根的意义，得到（x-m）（x-n）=（x-a）（x-b）-1=0，展开后有m+n=a+b，mn=ab-1（用韦达定理也行，课标2011版增加了韦达定理内容），再取满足题意的特殊值作比较即可.取m=0，则a、b互为倒数，设a=12，b=2，则n=2.5；也可取m=1，n=3.5，a=1，5，b=3.所以选A.有的考生不按“规则”出牌，靠上述取特殊值的方法巧妙地得出了答案.
这两种方法，孰难孰易，一目了然，按照题目指引的方法，学生难以做出结果，极有可能诱导老师补充高中知识.对于选择题，人家是怎样解的，你无从知道，也无法左右.因此，本题一相情愿的命题意图很难实现.我们在欢呼某些涉高题如何好的时候，还要看到它自身存在的许多不足.老师们进行题目教学的时候不能完全受制于题目，不能仅仅局限于“形”，还应当从“数”方面考虑，把数形结合思想发挥得淋漓尽致.再看下面一道题.
这也是很典型的涉高题，根据2012年兰州市中考题改编而成：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图5所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）.
A.0 C.k>2 D.k>3 教学中，老师们普遍采用直观的翻折法（涉高）进行讲解. 图5 图6根据题意得：y=|ax2+bx+c|的图象如图6，因为|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，所以k>3.故选D. 这个方法是怎么想到的，却很少有人分析清楚，学生懵里懵懂，没有真正理解.华罗庚先生指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”这里单纯用翻折法很难“入微”.没有高中解析几何的系统训练，暮然使用翻折法，初中学生既不容易想到，又难于真正搞懂.所以我们应当从学生理解题意做起，从学生最近发展区设计解题教学. （1）设置系列问题引导学生读懂题意 有两个实数根的方程是什么方程？根据绝对值的意义，方程|ax2+bx+c|=k（k≠0）去掉绝对值符号后得到两个什么方程？这两个方程都有根的话，说明原方程|ax2+bx+c|=k（k≠0）有几个根？那么|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，必须ax2+bx+c+k=0， 或ax2+bx+c-k=0中的一个方程满足什么条件？从题中图像上看，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=-3时，一元二次方程ax2+bx+c=-3有怎样的实根？当y>-3时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=y有怎样的实根？当y<-3时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=y有怎样的实根？ （2）读懂题意后引导学生寻求多种解法 对此题而言，学生的最近发展区是什么？是一元二次方程与二次函数的关系.所以，我们应当先从这个关系出发，从数的角度得出下列解法1、解法2. 解法1（构造法）：根据图像构造二次函数y=（x-m）2-3，m为任意实数.显然，当y=±k，且0 解法2（判别式法）：①ax2+bx+c+k=0，Δ=b2-4ac-4ak≥0，k≤-4ac-b24a=3，即当0 解法1、2让学生先“入微”，然后再让学生从形的方面加强认识.数形结合，相得益彰，既使学生深入理解了本题的解法，又让他们融会贯通了学过的知识. 3 “求最值”涉高题 如图7，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）.（2012年济南） A.2+1 B.5 C.1455 D.52 这是一个被炒得很热，产生过若干变式的题目.可以用高中的三角法、一元二次不等式等多种方法直接求解（涉高），也可以用初中几何法求解.用几何法求解时，初中学生甚至老师都有疑问：为什么过AB中点的线段DO就是点D到点O的最大距离？怎么想到的？能严格推理证明吗？我们不妨先用一种高中方法求出最大值，消除老师心中的疑虑. 图7 图8如图8，设OA=b，OB=a，则a2+b2=4. 因为△CGA∽△AOB，所以CGAO=GAOB=12，所以CG=12AO，GA=12BO. 则OC2=CG2+GO2=（12AO）2+（GA+AO）2=（12b）2+（12a+b）2=b2+ab+1. 设a=kb，代入a2+b2=4，得b2=4k2+1， 所以OC2=b2+ab+1=4k2+1+k·4k2+1+1，所以OC2（k2+1）=4+4k+k2+1. 整理成关于k的一元二次方程（OC2-1）k2-4k+OC2-5=0， Δ=16-4（OC2-1）·（OC2-5）≥0，化简得OC4-6·OC2+1≥0， 解得OC2≤3+22，OC≤3+22=2+1，所以OC的最大值是2+1. 高中方法运算量大，技巧性强，且并不容易知道DO过了AB中点，这是很遗憾的. 我们再来看看初中解法. 图9分析：如图9，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解.
解：因为OD 此时，因为AB=2，BC=1，所以OE=AE=12AB=1，DE=12+12=2.OD的最大值为OD=2+1，故选A. 显然，初中方法简单明快，且弥补了高中方法不知过了AB中点的缺憾.那么，如何给初中学生讲这个题，使大家真正理解，口服心服呢？策略是画出几个关键图，使图形能够反映出整个移动过程，图分五类，体现分类思想.从两段和的变与不变说明道理.最后还可以通过几何画板直观演示全过程，让大家深信不疑.如图10—14. 图10：矩形ABCD的AB边在纵轴、BC边在横轴时，DO=5 图11：点B从左至右、点A从上到下移动，DO与AB的交点在AB中点E下方，此时DO 图12：在图11的基础上，点B从左至右、点A从上到下继续移动，使DO过AB中点E； 图13：在图12的基础上，点B从左至右、点A从上到下继续移动，DO与AB的交点在AB中点上方，此时DO 图14：显然此时DO最短. 整个移动过程不外乎上面五种情形，无论哪种情形，DE+EO始终是常量，DO则由5逐渐变大为DE+EO=2+1，然后再逐渐变小，最后变为1.也许我们最初并不知道DO经过AB中点时最大，完全可以说是由实验得出的猜想，然后利用“三角形的任意两边之和大于第三边”来证明的，而且这个实验加证明的方法还可以推而广之.比如将直角MON换成锐角，再比如改变动点位置. 如图15，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=1，点T在CD边上，且DT=1，运动过程中，点T到点O的最大距离为（ ）.（答案：2+2） 综上所述，“杀鸡焉用牛刀”.题涉高解法不能涉高，否则会误导老师恶补高中知识，造成教学混乱，挫伤学生学习热情.“好厨师一把盐”，教学的拿捏犹如厨师手里的一把盐，应当恰如其分，才能把解题教学这盘菜做得更好吃.
