浅谈未定式极限计算的几种方法及技巧

黄绍东

【摘 要】本文介绍了未定式的概念，并在极限运算法则的基础上，通过对未定式的极限计算方法进行介绍，总结出未定式极限计算的几种方法及技巧。

【关键词】未定式    极限计算    方法

一、引言

极限是高等数学中最重要的内容之一，是研究高等数学的有力工具。高等数学中一些非常重要的概念如函数的连续性、导数的概念、定积分的概念等都是用极限来定义的。极限贯穿于高等数学的始终，掌握极限概念与极限运算是学好高等数学的前提条件，求极限成为高等数学中的基本运算，其中，未定式极限又是极限中的一个难点。洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，它主要是通过求极限号下分式的分子、分母的导数达到消去未定因素的目的。但也有一些未定式极限仅用洛必达法则是解不出来的，可利用初等解法，即通过恒等变形或变量替换转化为非不定式的极限来计算;或者利用无穷小代换法则、洛必达法则积分法、变量代换、函数转换（取对数、因式分解）中值定理等来计算。为此，本文针对这一问题对未定式的极限计算方法与技巧进行归纳总结。

二、未定式的概念

我们知道，两个无穷小量之比的极限或者两个无穷大量之比的极限，有的存在，有的不存在，即使存在，不同的极限值也不相等。因此，我们将这类极限称为未定式，并分别记两个无穷小量之比的极限和两个无穷大量之比的极限为“”型和“”型。

对于“”型和“”型的极限，由于不能运用“商

的极限等于极限的商”这一法则，洛必达法则就是求这种未定式的重要且有效的方法，这个方法的理论基础是柯西中值定理。

除了“”型和“”型这两类未定式之外，常见的

未定式还有“”“”“”“”“”等形式的极限。本文重点按未定式的类型来对极限计算的常用几种方法与技巧进行探讨。

三、“”型未定式的求解方法

1.通过因式分解和根式有理化，消去“”因子，再用极限运算法则或连续函数极限的求法求解。

所谓根式有理化，是指极限式中含有（或）的题型，在求极限之前先用它们的共轭根式（或）分别乘以分子、分母，使其“”因子呈现出来的一种运算。

2.利用等价无穷小的运算性质。

设～，～

则.

注意：乘、除可用等价无穷小替换，加减运算最好不用等价无穷小代换，因为掌握不好“度”易出错。

3.洛必达法则（这是求解型极限最有效的方法）。

4.变量替换（数学运算的原则是一步比一步简单，若用洛必达法则后，式子反而比原来的复杂，说明用法则达不

到求解目的。此时应想到变量替换法，通常是令

为自然数）。

四、“”型未定式的求解方法

1.洛必达法则。

2.变量替换法化为型。

3.型型或型再用法则或“抓大头”方法

处理，求解方法有三种：

（1）通分;（2）根式有理化;（3）变量替换

4.，在用法则或者“抓大头”方

法求解。

5.。

现以

注：型的极限有两种求法：（1）用对数恒等

式化为再化为（2）利用公式

一般讲，幂指函数的底呈或异化成这种形式的，（其中u（x）0），用后者简单。

五、结束语

总之，数学问题千变万化，解题方法灵活多样。学生要能把一些基础知识转化为技能，不但可以发展学生的数学思维能力，还可以提高学生的数学技能技巧。求极限的方法很多，不只限于以上介绍的方法，但基础知识更为重要。学习极限这一部分，要提高学生的运算能力，还要经常做一些相关的综合练习，力求题型的多样化，开拓学生的视野，进而加强学生对这一部分知识的理解与掌握，更好地培养他们的运算能力、观察分析能力。关于不定式极限的计算，只要灵活地运用各种方法与技巧，就能有效地解决不定式极限的计算问题。

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