考虑黏结滑移关系的连续道床板伸缩刚度计算方法

赵坪锐，邓非凡，胡佳

（西南交通大学 高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川 成都 610031）

考虑黏结滑移关系的连续道床板伸缩刚度计算方法

赵坪锐，邓非凡，胡佳

（西南交通大学 高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川 成都 610031）

连续道床板在降温和自身收缩情况下容易出现裂缝，从而造成伸缩刚度的折减，不同裂缝间距时的伸缩刚度差别很大，而伸缩刚度又是连续道床板温度力计算的重要参数。考虑钢筋与混凝土间的黏结滑移关系，建立一种连续道床板伸缩刚度计算方法，对不同裂缝间距情况下的钢筋和混凝土应力、黏结阻力以及伸缩刚度进行研究，对黏结阻力型式、混凝土强度等级和配筋率对伸缩刚度的影响进行参数研究。研究结果表明：即使在一定的裂缝间距情况下，伸缩刚度也并非一定值，而是随荷载增大而逐渐降低的变量，混凝土强度等级对伸缩刚度折减的影响较小，配筋率影响较大，检算过程中可根据裂缝间距增加一定的边界条件即可得到不同温度条件下的应力与刚度分布。

连续道床板；伸缩刚度；温度力；黏结滑移关系

近年来，随着我国高速铁路的快速发展，以高平顺、高稳定和少维修为技术特点的无砟轨道得到了广泛应用，尤其是连续式无砟轨道，如 CRTS II型板式轨道和双块式无砟轨道。如同无缝线路一样，该型轨道可最大限度地减少自由边，减少由于温度梯度引起的翘曲变形，减少由于变形不连续引起的刚度不平顺，其行车平稳性得到了大大改善［1］。连续道床板或底座板主要由钢筋混凝土制作，在降温和自身混凝土收缩作用下容易开裂，造成伸缩刚度分布不均匀，整体上表现为刚度折减。而刚度折减程度与裂缝间距、荷载大小有很大关系，造成设计计算中的取值困难。对于已经建成的无砟轨道，道床板或底座板内的裂缝已基本发展完成，为评价无砟轨道疲劳特性，通常以温度应力作为低应力，温度应力加上荷载应力作为高应力，研究钢筋的疲劳特性。维修过程也需计算温度力大小，从而采取合适的加强限位措施。伸缩刚度作为温度力计算中的关键参数，现有计算方法一般取开裂瞬间的极限状态计算钢筋最大应力［2-4］，而很少关心已开裂状态的伸缩刚度和钢筋应力分布情况。针对这一现状，本文拟对已出现裂缝的连续配筋混凝土道床板/底座板结构，考虑钢筋与混凝土之间的黏结滑移关系，研究其纵向刚度的计算方法，并对混凝土强度等级、配筋率等主要因素的影响规律进行研究。

1 连续道床板纵向刚度随裂缝的变化

忽略板底摩擦力，承受温度力的连续配筋道床板可简化为一根中心受拉的钢筋混凝土构件，其在不断增大的拉力作用下的变形情况如图1所示。

图1 钢筋混凝土板刚度变化情况Fig.1 Development of longitudinal stiffness of reinforcement concrete

在混凝土开裂之前，钢筋与混凝土共同变形，应力随应变成比例增大，此时钢筋与混凝土在拉力N作用下的应变为：式中：Es为钢筋弹性模量；Ec为混凝土弹性模量；As为钢筋面积；Ac为道床板截面积；ρ为道床板配筋率，ρ=As/Ac；n为钢筋与混凝土的弹性模量比，n=Es/Ec。

此时道床板的伸缩刚度为

当拉力增大到一定程度从而引起开裂时，裂缝处的混凝土退出工作，全部拉力由钢筋承受，裂缝两侧的钢筋与混凝土应变将不再均匀，二者之间表现出一定的黏结滑移关系，相同拉力作用下的伸长位移将增大，表现为伸缩刚度的折减。随着裂缝的不断出现，伸缩刚度将越来越低，趋近于仅钢筋受力时的伸缩刚度。伸缩刚度表现为裂缝数量或裂缝间距的函数，道床板纵向力与纵向位移的关系曲线将处在图1的阴影部分。一般情况下，裂缝间距受控于所在地区的降温幅度和自身收缩，1 a后裂缝数量基本达到稳定，根据现场调查统计，连续道床板或底座板裂缝间距基本处于 1～2 m范围内。在一定裂缝间距情况下，随着纵向拉力的变化，黏结滑移区也将随之改变，同样会造成纵向刚度值的变化。

2 考虑黏结滑移关系的带裂缝连续道床板纵向刚度计算方法

连续道床板或底座板由于混凝土收缩和降温形成间距（lcr）大致相等的若干裂缝，裂缝一经产生，裂缝处的混凝土即退出工作，仅钢筋受力，忽略板底的摩擦作用，则2裂缝间的混凝土应力可视为在截面上均匀分布。

取2条裂缝之间的一段钢筋混凝土道床板为研究对象，在其中心位置设为坐标原点建立坐标系，由于钢筋与混凝土之间的相互作用，沿裂缝长度方向的钢筋与混凝土应力分布如图2所示，在轴向拉力N的作用下，裂缝位置处钢筋应力最大为σs，c，混凝土应力为 0。在 O点位置钢筋应力最小、混凝土应力最大，分别为 σs和 σc。

混凝土开裂后，钢筋与混凝土之间将出现相对滑移，二者之间通过黏结阻力发生相互作用，单位长度上钢筋与混凝土之间的黏结阻力为黏结强度与钢筋周长的乘积，即：式中：τ为钢筋与混凝土之间的黏结强度；S为与混凝土接触的钢筋周长。

对于一定配筋率 ρ的连续配筋混凝土板，

其中，d为钢筋直径，显然在一定的配筋率情况下，钢筋直径越小，与混凝土接触的钢筋面积约大，黏结阻力越高。

图2 带裂缝连续道床板的钢筋与混凝土应力分布Fig.2 Stress distribution in concrete and rebar of the continuous track slab with cracks

钢筋与混凝土之间的黏结强度与二者之间的相对位移有很大关系，在公路配筋混凝土路面中假定黏结强度为钢筋与混凝土相对位移的线性函数［5］，而欧洲混凝土模式规范CEB-FIP MC90［6］建议的 τ-S曲线方程为4段式模型，即：

其中，s为钢筋（us）与混凝土（uc）之间的相对位移：

对于任意截面，由力的平衡关系：

对于混凝土或钢筋分离体，则有：

拉力 N作用下的钢筋和混凝土位移分别为：

其中在裂缝位置处存在边界条件

由于钢筋在全长范围内连续，任意位置处的伸缩刚度可由该处钢筋的应变计算得到，即

全长范围内的平均伸缩刚度则可表示为钢筋端部的作用力与位移的比值，即：

开裂后的平均伸缩刚度与开裂前伸缩刚度的比值定义为折减系数。

3 带裂缝连续道床板应力与刚度分析

以双块式无砟轨道道床板为例计算带裂缝道床板应力与伸缩刚度分布，其中道床板采用 C40混凝土，配筋率0.8%，钢筋直径20 mm。受双块式轨枕界面裂缝的引导，道床板内裂缝间距一般表现为轨枕间距的整数倍，因此该分析中裂缝间距取为轨枕间距的整数倍，所施加的荷载以不超过混凝土抗拉强度和钢筋屈服强度为准，即所施加的拉力满足，式中，ftk和fyk分别为混凝土和钢筋的标准抗拉强度。

在混凝土劈裂破坏、钢筋与混凝土之间黏结良好状态的黏结滑移关系条件［7］下，不同裂缝间距和拉力作用下的钢筋与混凝土应力分布如图 3所示。为便于在同一标度下的比较，将应力按照各自标准强度处理为无量纲参数。在此情况下，钢筋与混凝土的滑移区约为0.5 m，当裂缝间距为0.65 m （1个扣件间距）时，全长范围内的钢筋和混凝土均发生相对滑移，而裂缝间距超过 1.3 m时，2裂缝中间部位钢筋与混凝土基本同应变。

沿钢筋长度范围内，钢筋与混凝土之间的黏结强度分布如图4所示，为便于比较，将不同裂缝间距的道床板按裂缝端对齐，并根据最大黏结强度进行归一化处理，可以看出，当裂缝间距较小，小于2倍滑移区长度时，拉力作用下的阻力梯度明显较大，而裂缝间距大于 2倍滑移区长度时，相同拉力作用下的黏结阻力分布基本相同，钢筋与混凝土之间的滑移关系处于4段式黏结滑移关系的第1段。

图3 不同裂缝间距时的钢筋与混凝土应力分布Fig.3 Stress in rebar and concrete with different crack spacing

图4 黏结滑移强度分布Fig.4 Bond stress distribution

图5 不同裂缝间距时的拉伸刚度分布Fig.5 Longitudinal stiffness distribution with different crack spacing

图6 不同裂缝间距时平均刚度与轴拉力的关系Fig.6 Relationship between average longitudinal stiffness and tensile force with different crack spacing

图5为不同裂缝间距情况下的拉伸刚度分布，当裂缝间距较小时，由于全长范围内均处于滑移区，钢筋应变较大，因而刚度较小；而裂缝间距较大时，在中段位置，钢筋与混凝土处于共同变形区，仅端部一定长度范围处于滑移区，因而伸缩刚度较大，裂缝间距越大，共同变形区越长，伸缩刚度越高。荷载大小影响着滑移区的长度，增大荷载，则需要更长的滑移区将荷载由钢筋传递至混凝土，因而造成伸缩刚度的降低，如图6所示。对一定裂缝间距情况下温度力的计算，可直接在裂缝端部的钢筋上施加位移边界条件，

即可直接得到钢筋和混凝土应力分布与伸缩刚度大小，避免了反复计算伸缩刚度的麻烦。

4 参数分析

4.1 黏结滑移阻力

钢筋与混凝土之间的黏结滑移阻力关系到钢筋与混凝土的协同变形能力，影响着伸缩刚度的分布与大小，考虑模式规范中的4种关系和公路混凝土路面设计规范中采用的线性阻力，保持其他参数不变，应用图7所示的不同黏结滑移公式计算的不同裂缝间距情况下的平均刚度如图8所示。

图7 C40混凝土黏结滑移关系Fig.7 Bond relationship between C40 concrete and rebar

图8 不同黏结阻力和裂缝间距下的纵向刚度Fig.8 Longitudinal stiffness with different bond relationship and crack spacing

良好的黏结阻力可缩短滑移区长度，减小刚度的折减。为保证无砟轨道的正常使用，规范规定道床板裂缝宜控制在 0.5 mm或 0.3 mm［7］以下，钢筋与混凝土之间的相对位移最大也不过0.25 mm，钢筋与混凝土之间的相对位移很小，处于四段式黏结滑移关系中的第1段，因而对于常用的无砟轨道道床板或底座板，发生混凝土劈裂破坏或钢筋拔出破坏的刚度折减程度相同。当采用公路规范中的线性阻力时，刚度折减程度基本与黏结较差时的情况接近。

4.2 混凝土强度

保持其他参数不变，改变混凝土等级，可得到不同裂缝间距不同混凝土强度等级情况下的纵向刚度如图 9所示。对于 C40，C50和 C60混凝土，其刚度折减程度基本相同，而采用C30混凝土的道床板刚度折减程度相对较低。

图9 混凝土等级对刚度折减的影响Fig.9 Influence of the concrete grade to the longitudinal stiffness reduction

4.3 配筋率

配筋率对刚度折减的影响很大，增大配筋率，相同开裂情况下的刚度折减程度更低。双块式无砟轨道道床板配筋率约为 0.8% ～0.9%［8］，而 CRTS II型板式轨道底座板配筋率则高达 2%以上［9］，在常见的1～2 m的裂缝间距情况下，其开裂后的折减刚度约为道床板的2～3倍，如图10所示。

图10 配筋率对刚度折减的影响Fig.10 Influence of reinforcement ratio to the longitudinal stiffness reduction

5 结论

1）对于裂缝已发展完成的连续道床板或底座板结构，可根据实际调查的裂缝间距，考虑钢筋与混凝土之间的黏结滑移关系，配合位移协调条件，直接计算道床板内钢筋与混凝土应力的分布及刚度大小。

2）带裂缝连续道床板在拉力作用下的滑移区大小基本一致，裂缝间距越大，共同变形区越长，刚度越大。

3）配筋率对刚度折减的影响很大，配筋率越高，折减后的刚度越高，而混凝土强度等级的影响则相对较小。

［1］何华武.无砟轨道技术［M］.北京：中国铁道出版社，2006.HE Huawu.Ballastless track technology［M］.Beijing：China Railway Press，2006.

［2］赵坪锐，刘学毅.连续道床板温度应力计算方法研究［J］.铁道标准设计，2008，52（10）：6-8.ZHAO Pingrui，LIU Xueyi.The thermal stress calculation method of continuous track slab［J］.Railway Standard Design，2008，52（10）：6-8.

［3］任娟娟，刘学毅，赵坪锐.连续道床板裂纹计算方法及影响因素［J］.西南交通大学学报，2010，45（2）：34-38.REN Juanjuan，LIU Xueyi，ZHAO Pingrui.Crack calculation method and influence factors for continuously reinforced slab［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2010，45（2）：34-38.

［4］吴斌，张勇，曾志平，等.温度及收缩荷载下路基上双块式无砟轨道力学及裂缝特性研究［J］.铁道科学与工程学报，2011，8（1）：19-23.WU Bin，ZHANG Yong，ZENG Zhiping，et al.Study on mechanics and crack behavior of twin-block ballastless track on subgrade under the temperature and shrinkage load［J］.Journal of Railway Science and Engineering，2011，8（1）：19-23.

［5］JTG D40—2011，公路水泥混凝土路面设计规范［S］.JTG D40—2011，Specifications for design of highway cement concrete pavement［S］.

［6］Thomas Telford Services Ltd.CEB-FIP MODEL CODE 1990［S］，Comité Euro-International du Béton，1991：83-86.

［7］GB 50010—2010，混凝土结构设计规范［S］.GB 50010—2010，Code for design of concrete structures ［S］.

［8］崔国庆.双块式无砟轨道道床板裂缝控制研究［J］.铁道标准设计，2010，54（1）：66-68.CUI Guoqing.Crack control study of track slab in twinblock ballastless track［J］.Railway Standard Design，2010，54（1）：66-68.

［9］陈小平.考虑桥梁伸缩的纵连底座板配筋计算方法［J］.西南交通大学学报，2012，47（5）：754-760.CHEN Xiaoping.Calculation of longitudinal connected slab reinforcement considering expansion and contraction of bridge［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2012，47（5）：754-760.

（编辑 阳丽霞）

The calculation method for longitudinal stiffness of continuous track slab considering the bond slip relationship between concrete and rebar

ZHAO Pingrui，DENG Feifan，HU Jia

（MOE Key Laboratory of High-speed Railway Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

Cracks will occur in the continuous track slab when temperature drops and concrete shrinks，which will induce a reduction of the longitudinal stiffness.Different crack spacing can lead to a big difference in longitudinal stiffness.Meanwhile the longitudinal stiffness is a very important parameter for determining the thermal stress in continuous track slab.In this paper，a calculation method about longitudinal stiffness of continuous track slab was established considering the bond slip relationship between concrete and rebar.The stress distribution of concrete and rebar，bonding resistance and longitudinal stiffness were calculated using this method.The influence of the bond slip relationship，concrete grade and reinforcement ratio to the reduction of the longitudinal stiffness were studied.The results show that even at a certain crack spacing the longitudinal stiffness is not a constant，but tends to decrease with the larger tension load.The concrete grade has little influence on the reduction of longitudinal stiffness，while the reinforcement ratio has great impact.In the process of checking calculation，a proper boundary condition should be added to get a stress and stiffness distribution under different crack spacing and temperature conditions.

continuous track slab；longitudinal stiffness；thermal force；bond slip relationship

U213.212

A

1672-7029（2015）02-0229-06

2014-09-19

国家重点基础研究发展规划（973计划）项目（2013CB036202）；国家自然科学基金资助项目（51008258）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（SWJTU12CX065）

赵坪锐（1978-），男，山东胶南人，副教授，博士，从事高速重载轨道结构与轨道动力学研究；E-mail：przhao@163.com