混凝土宏观损伤本构模型综述

田秀全 孙利民

（郑州大学力学与工程科学学院，河南 郑州450001）

众所周知，混凝土是一种主要的工程建筑材料，其在建筑、桥梁、港口、高速公路、隧道、大坝、地铁等各个领域都得到了广泛的应用。但是由于混凝土是一种由水泥砂浆、骨料和过渡区所构成的三相复合材料，以及它在初始阶段就有随机分布的微裂缝和微孔洞，它损伤破坏时带有典型的非线性。混凝土破坏时的复杂性一直限制着混凝土的本构关系方面的的研究，以往出现的描述混凝土非线性的模型有非线性弹性模型、弹塑性模型等，但是这些模型都没有合理地反映混凝土受力时的特性。损伤力学的出现，开拓了混凝土损伤破坏研究新的领域。Kachanov[1]、Rabotnov[2]、Krajcinovic[3]、Sidoroff[4]等 先 后 为 损伤力学理论做出了贡献——损伤因子、有效应力、损伤面、应变等效、能量等效等新的概念逐步进入人们的视野，损伤理论的大致框架形成。

从Dougill开始将损伤力学引入混凝土用来描述其典型的非线性以来，经过几十年的发展，混凝土损伤力学理论得到长足发展，众多的混凝土宏观损伤力学一些新的研究进展需要整理归纳。

1 弹性损伤模型

由于问题的复杂性，早期的混凝土损伤本构关系都省略了混凝土卸载后客观存在的那部分不可恢复的永久变形，只是建立了考虑刚度退化、非线性的弹性损伤模型。这些弹性损伤模型为开拓新的混凝土研究领域，而且为后来的弹塑性模型的建立提供了早期的理论基础。

混凝土损伤本构模型中，首个取得的突破性成果是Ladevèze-Mazars弹性损伤模型。由于混凝土在拉、压应力作用下强度、刚度性质差别很大，受拉强度较受压强度小很多，且受压时会出现刚度恢复的现象，即单边效应。为了反映混凝土的单边效应，法国学者Ladevèze[5]提出了应力张量的正负分解方法：

这种把混凝土的拉压损伤分开考虑的想法，后来被证明是适用于混凝土材料的，也被后来的研究人员所采用,如Faria[6]、Wu[7]等。

Mazars[8]借鉴上述应力正负分解的方法，并且在模型中首次引入弹性损伤能释放率建立损伤准则（尽管是经验准则），将热力学知识引入到混凝土损伤研究中。Mazars将材料的Helmholtz自由能势表达为：

其中C0为材料柔度张量C0，d+和d-分别为受拉、受压损伤变量。

但是该模型将应力分开来考虑不同的受力情况，以及首次基于损伤能释放率建立损伤准则，尽管是经验准则，却为后来的研究者指明了方向。因此，上述模型后来被称为：Ladevèze-Mazars单边损伤本构模型。

典型的各向同性弹性损伤模型还有Loland[9]受拉损伤模型、余天庆[10]分段线性模型、钱济成[11]等。由于弹性损伤模型忽视了那部分不可恢复变形，所以理论上总是存在漏洞，而弹性损伤模型反映混凝土复杂受力情况下的力学特性明显有偏差，所以后来有不少研究者试图修正和完善Ladevèze-Mazars模型，其中比较具有代表性的有Papa和Taliercio[12]、Comi和Perego[13]等建立的经验弹性损伤模型。但是由于弹性损伤模型的固有缺陷，都没取得好的效果。

2 弹塑性损伤

Karsan and Jirsa[14]等做了混凝土在反复加载时的大量的试验，实验数据可以借鉴，从图1中可以看出反复加载时的混凝土应力—应变关系存在明显的刚度退化，而且在加载过程中，当应力卸载后仍然存在相当一部分不可恢复的变形，而且还会逐渐地增加。

图1 混凝土反复加载时的应力一应变关系

弹性损伤本构模型没有描述这部分不可恢复变形，于是研究人员开始把塑性理论引入到损伤本构关系中，现有弹塑性损伤模型中对塑性应变的反映主要基于以下3种方式。

2.1开始由于研究水平的限制，学者一般假设损伤仅影响材料的弹性特性，并在Cauchy应力空间求解塑性应变。比较经典的模型有Resende[15]、Simo-Ju[16]等。

求解塑性应变所采用的基本公式如下：

塑形流动法则

塑形硬化法则

塑形屈服、加卸载条件

2.2在Cauchy应力空间求解塑性应变在迭代时可能引起不收敛情况。由于混凝土是脆性材料，损伤后局部应力会重新分布，而且塑性流动发生在材料的无损伤部分，所以应该基于有效应力空间来考虑塑性变形。为此，只要将应力换成有效应力即可，Ju[17]等采用这种方法。

2.3不管是Cauchy应力空间还是有效应力空间求解塑性应变，公式复杂，计算庞大，为了简化计算，也有学者采用经验表达的方法来考虑塑性变形，典型的有Faria[6]等损伤模型。

其中Faria等建立的经验塑性应变率表达式为：

其中β是经验修正系数，H（）为Heavside越阶函数。

3 Helmholtz自由能以及损伤变量的演化发则

损伤本构模型的重点是给出合理的损伤变量来表达材料的损伤状态，以及找出损伤变量的演化法则。由于问题的复杂性，刚开始时研究的是标量损伤，即各项同性损伤中的特例——损伤方向一致。然而由于混凝土初始状态随机分布有微裂缝和微孔洞等缺陷，所以明显是各向异性的材料，所以标量损伤无法描述混凝土的各向异性损伤。所以有学者就相继研究了矢量以及张量表达式来描述损伤[18]。

3.1 经验损伤演化

在确定了损伤变量后，就要给出损伤变量变化的损伤演化方程。建立的损伤演化方程主要分为3种。

一种是基于拟合大量的试验数据的经验损伤演化方程，如Comi和Perego[13]经验弹性损伤模型、Faria等经验弹塑性损伤本构模型、Resende拉压损伤模型。Faria在其经验弹塑性损伤本构模型中，没有采用基于损伤能释放率建立损伤面，而是采用了经验的损伤面，他定义了“等价应力”，即：

进而Faria将损伤演化函数取为经验表达式：

3.2 基于损伤能释放率建立损伤准则

另一种就是理论相对严谨的，基于与损伤变量功共轭的损伤能释放率建立损伤准则，然后基于正交法则得到损伤变量的演化函数。如Mazars[8]弹性损伤模型，Wu and Li[19]弹塑性损伤模型。事实上，对于上述经典的弹塑性损伤本构模型来说，都假定损伤只影响材料的弹性性能而不影响塑性特性。后续研究证明：基于弹性损伤能释放率建立的损伤准则无法预测混凝土材料在双轴受压条件下强度的提高。

基于此，Ju[17]在其单标量弹塑性损伤中正式考虑塑性Helmholtz自由能对损伤的影响，将材料的总Helmholtz自由能分解为弹性和塑性两部分。自Ju后学者纷纷在材料的Helmholtz自由能中耦合进塑性自由能，这样就能将塑性损伤能释放作为总的能量释放率的一部分，从而建立损伤和塑性的双向耦合模型。在这一方面李杰等取得突出的成果，李杰[20]等参照Resende[15]拉压损伤模型，引入混凝土的损伤、破坏的受拉和受剪机制，从损伤和塑性的双向耦合效应入手，引入弹塑性Helmholtz自由能势，基于损伤能释放率建立损伤准则，并在有效应力求解塑性变形，形成了具有热力学基础的双标量弹塑性损伤模型。

李杰等将总Helmholtz自由能势分解为弹性受拉和受剪部分和塑性受剪部分：

把弹塑性Helmholtz自由能带入等温绝热条件下的不可逆热力学第二定律Clausius-Duhem不等式，整理可得到受拉和受剪损伤能释放率分别为：

再基于损伤面通过正交流动法则得到损伤变量的演化法则,如下：

类比于经典塑性力学，损伤加卸载条件即Kuhn——Tucker关系为：

最终得到损伤演化函数为：

其中，r0+和r0-为初始受拉和受剪损伤能释放率阈值，r+和r-为当前受拉和受剪损伤能释放率，A-、A+、B-、B+分别是模型参数，可以通过混凝土单轴受拉和受压应力——应变曲线标定。

3.3 基于损伤能量释放

还有一种是由Najar[21]等人发展起来的，基于损伤能量释放的模型。按照Najar的损伤理论，脆性固体材料的损伤定义为：

其中：W0为无损材料的应变能密度，Wε为损伤材料的应变能密度，E0、E分别是无损材料的弹性系数张量。

在Najar损伤模型中，由于对Wε的计算进行了线性简化，即取，所以Wε的计算值比实际的应变能密度小，造成计算的损伤变量d值偏大。为此王中强、余志武[22]采用了精度更高的辛普生积分方法，更加真实地反映混凝土的损伤行为。此外，李淑春和刁波[23]等也在这方面做了不少努力。

4 结论

弹性损伤模型表达式简单，数值计算量小，参数标定简单，单调加载时能较好地满足混凝土的受力力学行为，适用于工程中大型结构的非线性计算，但是存在固有的缺陷。由于没有考虑混凝土反复加载时存在的不可恢复变形，所以只能表达由于刚度退化引起的非线性行为，而忽视了这部分不可恢复变形引起的非线性。

弹塑性损伤模型已经能够表征混凝土材料的塑性变形行为，但是由于求解塑性应变时计算复杂而且计算量大，所以不利于工程实际。

基于能量释放的混凝土损伤本构模型，尽管定义简明，但是缺乏热力学基础，而且没有与主流的基于损伤能量释放率的损伤模型进行有效的交流。

本文从弹性损伤模型出发进一步深入到弹塑性模型，重点从基于损伤能量释放率的损伤本构模型、基于损伤能量释放的损伤本构模型和其它经验损伤本构模型3个方面，列举了其中有代表意义的混凝土损伤本构模型。

最后，建议混凝土宏观损伤本构模型研究从物理实际出发，比如从拉压损伤到拉剪损伤的转变，从cauchy应力推进到有效应力空间来考虑塑性应变，损伤变量也要定义有物理意义的量。并且尝试结合损伤能量释放率和损伤能量释放，充分利用两者的优越性。

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