图像分割中偏微分方程解的存在性研究

徐长俊

（江苏省联合职业技术学院，江苏 南京 210024）

图像分割中偏微分方程解的存在性研究

徐长俊

（江苏省联合职业技术学院，江苏 南京 210024）

本文对图像分割中基于水平集的偏微分方程模型解的存在性进行研究，主要采用偏微分方程理论以及图像处理中偏微分方程粘性解理论。对模型的解的存在性和唯一性问题在理论上进行解决，进而解决数值计算中存在的迭代收敛性问题，为其提供理论依据，确保实际应用中图像分割模型具有一定的稳定性。

图像分割；偏微分方程；存在性

近年来，偏微分方程广泛应用于图像处理和计算机视觉中，主要作用包括图像识别、图像分割、图像复原以及图像分析等。在图像处理过程中，图像分割至关重要，常用处理模型包括基于偏微分方程图像处理模型、耦合偏微分方程图像处理模型以及基于水平集方法的图像处理模型三种。本文对图像分割中偏微分方程模型的解的存在性进行探讨，采用抛物方程理论粘性解理论，使用正则化方法，以证明偏微分方程解的唯一性。

1 偏微分方程在图像处理中的应用

作为图像分割领域的重要分支，基于偏微分方程的图像分割方法受到了研究人员的广泛关注。基于偏微分方程的图像分割方法的基本思想在于实现由研究问题向泛函极小问题的转化，通过变分方法实现对偏微分方程的求解，并将所求解作为图像分割的结果。目前，基于偏微分方程的图像分割方法已相对成熟，常用方法包括Mumford-Shah模型以及主动轮廓模型。

图像滤波是最早将偏微分方程引入图像处理的研究，作为一种预处理方法存在于多种场合，为图像识别工作奠定基础。随后，Osher立足图像恢复角度对偏微分方程进行研究，基于能量极小化和变分法提出偏微分方程方法，为基于偏微分方程的图像处理方法提供基础。在此基础上，主动轮廓模型等基于能量极小化的图像分割模型逐渐建立，广泛应用于当今社会中［1］。

随着对图像处理的研究逐渐深入，人们更加关注于图像处理的本质，运用严格的数学理论对图像处理方法进行归类、改进和论证，偏微分方程成为连接理论和应用的重要桥梁。在图像处理工作中，常用数学模型作为一种有界变差函数，不能满足偏微分方程离散化时所需的连续性条件，需要运用偏微分方程的粘性解。对此，如何确定图像处理模型中偏微分方程的解的存在性成为重要研究方向［2］。

2 偏微分方程解

图像分割中偏微分方程方法的基本思想在于，根据图像的连续数学模型，建立的能量泛函需要满足图像分割约束要求，应用变分法，确保所得偏微分方程满足图像分割要求，并对偏微分方程进行理论分析和数值计算。在某个耦合偏微分方程图像分割模型中，偏微分方程如下：

式（1）中，g0（x，y）表示原始图像，H（x）表示Heaviside函数，u0（x，y）表示初始曲线水平集嵌入函数。根据迭代交替计算法可得u和｛c1，c2｝的解，当u的解趋于稳定或达到设定计算次数时，需停止计算。u值直接决定｛c1，c2｝的值，在下一次迭代计算中，解u的过程不变，u的偏微分方程如下：

在一般情况下，需要对乘积表达式中成对出现的下标进行求和，如：

实际应用中图像分割模型具备较强的稳定性。

［1］周宇.基于水平集的图像分割方法研究及其应用［D］.西安：西安科技大学，2014.

［2］原野.偏微分方程图像分割模型研究［D］.重庆：重庆大学，2012.

The theory of image segmentation in the existence of partial differential equation model

XU Chang-jun
（Jiangsu Union Technical Institute，Nanjing Jiangsu 210024）

In this paper，the image segmentation based on level set in the existence of the solution of the partial differential equation model for research，mainly USES the theory of partial differential equations and the theory of the viscosity solution of partial differential equations in image processing.Existence and uniqueness of solutions of the model in theory to solve the problem，and solve problems in iterative convergence of numerical calculation，providing theoretical basis，to ensure that the image segmentation model in practical application has certain stability.

Image segmentation；Partial differential equations；existence

O175.2

A

10.3969/j.issn.1672-7304.2015.04.034

1672-7304（2015）04-0072-02

（责任编辑：黄 密）

徐长俊（1978-），男，江苏盐城人，讲师，研究方向：微分方程及高等数学教学。