陀螺随机游走对定向设备双位置寻北精度影响分析

殷 楠， 刘建锋， 葛 磊， 李向东

（中国航天科工集团 第二研究院七〇六所， 北京100854）

具有转位机构的定向设备在寻北时，常采用双位置寻北算法[1-4]，采用将相差180°的两个位置相减的方法来实现寻北。 双位置寻北可消除陀螺常值漂移对寻北精度的影响，能有效提高定向设备寻北精度，且算法较为简单，实用性较强。

有关双位置寻北误差分析的文献较多[5-7]，但都是分析陀螺常值漂移对寻北精度的影响。 但对于陀螺本身而言，其误差不止包含常值漂移，随机游走系数也是其重要误差源。 且双位置寻北不能消除陀螺仪的随机游走，因此，随机游走对寻北精度有较大影响。 可见，分析随机游走系数对多位置寻北精度影响，具有重要的意义。 但目前鲜有相关文献。

文中分析了随机游走系数对定向设备双位置寻北精度的影响，推导了相关误差公式，进而证明双位置寻北精度与随机游走系数有关， 且与每个位置的数据采集时间有关，数据采集时间越长，则寻北精度越高；同时证明了由于随机游走系数的影响，双位置寻北有失效的可能。 最后提出了改进的双位置寻北算法， 有效解决双位置寻北有可能失效的问题，并能提高寻北精度。

1 双位置寻北算法

双位置算法原理较为简单，这里对双位置寻北算法做简单介绍。 双位置寻北是利用水平面的陀螺敏感到的地球自转角速度的北向分量来进行解算。 当定向设备不处于水平状态时，可通过加表敏感重力加速度，计算出定向设备的俯仰角和横滚角，进而可以将陀螺敏感到的地球自转角速度投影到水平面上，因此，这里为了分析方便，假设定向设备已处于水平状态。

当定向设备处于水平状态， 且与北向的夹角为φ 时，设此时陀螺处于位置1，则陀螺敏感到的地球自转角速度为

其中wie为地球自转角速度，L 为当地地理纬度，ε（t）为陀螺漂移。 一般陀螺漂移主要有常值分量、高频噪声和随机游走组成，陀螺漂移的输出信号为：

其中，随机游走为高斯白噪声，服从均值为0，方差为Q的高斯分布。

再利用力矩电机驱动使陀螺敏感轴转动180°到位置2，则陀螺敏感到的地球自转角速度为

陀螺分别在位置1 和位置2 采集一段时间数据，并对两个位置的数据进行求均值平滑，则可将高频噪声平滑掉。 当不考虑随机游走的影响时，两个位置平滑后的值为

此时可以计算北向夹角为：

2 随机游走系数对寻北精度影响分析

在进行双位置寻北解算时，对于陀螺的噪声只考虑了常值漂移和高频噪声，忽略了随机游走系数的影响，而实际上，双位置对准的寻北精度恰恰是由随机游走系数决定的。 下面证明之。

当考虑随机游走系数时， 两位置的求均值平滑后的值应为

其中，T 为每个位置的采样时间，W1（T）、W2（T）为随机游走系数积分的平均值，即

由于随机游走系数为高斯白噪声，为随机变量，则随机游走系数的积分仍然为随机变量，因此，W1（T）、W2（T）为随机变量。 其统计特性为

此时有

则

此时，计算出来的带有误差的北向夹角为

对等式右边一阶泰勒展开得

则

为随机变量。 其均值和方差分别为

则其标准差为

由此可见，在考虑陀螺随机游走系数时，双位置寻北的误差 Δφ 为 随 机 变 量 ， 其 均 值 为 0， 标 准 差 为Δφ 的精度与每个位置的采样时间T 和定向设备所处的方位φ 有关系。 从上面的式子可以看到，时间T 越大，则其标准差越小，即精度越高。

再假设当φ=0°或当φ=180°时，考虑方位误差方程

由于W1（T）、W2（T）为随机变量，所以W1（T）～W2（T）可能是正值，此时，会导致上式中的反余弦函数中的变量的绝对值大于1，造成解算错误。 当φ 在0°或180°附近时，同样可能存在这个问题。因此，如果用这种寻北算法，有出现解算错误、算法失效的可能。

3 改进的双位置寻北算法

在第2 节中，已经分析了常规的双位置寻北算法，有可能出现失效的情况，因此，有必要对其进行改进。 在改进的过程中，基于两个原则：1）杜绝算法出现计算失效的情况；2）尽量提高算法的精度。

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由于转位机构都有测角系统，因此，在杜绝算法出现计算失效的情况时，可以将转为转动一个角度θ，避开0°或180°的位置，再进行寻北解算，得出，则真实北向φ 为

但是该转动多少角度， 则需要从提高算法的精度方面考虑。 观察Δφ 的标准差

可见，Δφ 的精度除了与时间相关外，还与|sinφ|有关，|sinφ|越大，则其标准差越小，当|sinφ|=1 时，Δφ 的标准差达到最小。 即φ=90°或270°时，寻北精度最高。 因此可以利用转位机构，将陀螺的两个位置分别停留在90°和270°，则从理论上取得最高的精度。 而当φ=90°或270°时，正好是东向或西向，恰恰是陀螺输出为0（不考虑陀螺漂移）时，因此，很容易大致找到这两个位置。

改进的双位置寻北算法的具体的实施方法如下：

开机启动陀螺后，先利用转位机构带动陀螺旋转一周，并记录出陀螺输出的绝对值最小时的转位机构转动的角度θ，然后再将陀螺转动到该位置上，进行第一个位置的数据采集，采集时间到后，旋转到达第二个位置，采集数据，再进行寻北解算，得出则真实北向φ 为

即完成了寻北解算。

4 仿真验证

本节设计两个仿真试验，以验证所提观点的正确性。

第一个仿真试验是验证双位置寻北精度与每个位置采样时间有关，时间越长，精度越高，且与误差分析相关公式吻合。

第二个仿真试验要验证两个内容：1）在方位角0°、180°附近时，有出现计算错误而失效的可能；2）本文所提算法的有效性。

第一个仿真试验的设计如下， 假设定向设备方位角为45°，陀螺常值漂移为0.01°/h，随机游走为，采样频率为200 Hz，设计两组寻北时间，第一组为4 分钟，每个位置采集数据2 分钟，第二组为10 分钟，每个位置采集数据5 分钟，分别进行10 次仿真，所得寻北结果及误差如表1 所示。

表1 不同时间寻北误差对比Fig. 1 North-seeking error for different time periods

从表1 中可以看出，10 分钟寻北的标准差明显优于4 分钟寻北，从而证明了文中提出的第一个结论，双位置寻北精度与每个位置的采样时间有关，时间越长，精度越高。 再相关仿真参数代入本文所推导的误差标准差公式， 可得4 分钟、10 分钟的寻北误差标准分别为

与仿真结果基本吻合，仿真次数越多，样本越多，则吻合的会越好。

再设计第二个仿真试验， 假设定向设备分别处于0°、45°、90°，寻北时间为10 分钟，陀螺相关参数不变，每个方位进行10 次仿真，所得寻北结果及误差如表2 所示。

其中，在0°方位的寻北中，False 表示寻北失败，在10 次的寻北中，有4 次失败。 从理论上来讲，会有50%的概率寻北失败，在10 次试验中，有4 次失败，与理论分析较为吻合。 再比较3 个方位的寻北精度， 可以看出，90°方位寻北效果最好，0°方位最差，且存在失败的情况，45°方位居中。 根据的误差公式可以计算出，std[Δφ]45°的标准差为std[Δφ]90°的倍，而仿真结果的比值约为1.348，与较为接近。进而验证了所推导公式的正确性。

表2 不同方位寻北误差对比Fig. 2 North-seeking error for different positions

5 结 论

通常情况下，在利用双位置寻北算法进行寻北时，会忽略随机游走系数对寻北精度和效果的影响。 然而，随机游走系数恰恰最终决定了寻北精度，且还有可能导致寻北失败。 本文分析了随机游走系数对双位置寻北精度的影响， 并推导了相关误差公式，证明了常规双位置寻北存在寻北失败的可能，指出双位置寻北精度与随机游走系数、寻北时间及所处方位有关，提出了改进的双位置寻北方法。 最后通过仿真试验验证了相关结论：1）寻北时间越长，其寻北精度越高；2）在0°方位附近，存在寻北解算失败的情况；3）在90°方位寻北效果最好。

[1] 徐海刚.惯导双位置对准精度分析[J].弹箭与制导学报，2009，29（4）:1-3.

[2] 严恭敏， 秦永元.车载激光捷联惯导系统双位置对准研究[J].弹箭与制导学报，2005，25（3）:478-494.

[3] 谢波，裴听国. 双位置对准技术在车载捷联惯导系统中的应用研究[J]. 战术导弹技术，2004（5）:33-37.

[4] 周绍磊，吴修振，徐海刚，等. 一种新的捷联惯导快速双位置对准方法[J]. 中国惯性技术学报，2012，20（5）:525-529.

[5] 张思将，秦石桥，王省书，等. 连续旋转式激光陀螺寻北仪研究[J]. 航空兵器，2006（1）:12-14.

[6] 王昌平. 旋转式激光陀螺寻北仪误差建模与仿真研究[D].长沙:国防科学技术大学，2005.

[7] 郭庆喜， 武克用.用于环形激光陀螺调制输出的寻北系统[J].光电工程，2001，28（2）:11-13.