用柯西收敛原理证明实数完备性的其它定理*

张学茂，刘来山，陈 玲，梁 妮，刘 晶，徐 芳

（泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300）

用柯西收敛原理证明实数完备性的其它定理*

张学茂，刘来山，陈 玲，梁 妮，刘 晶，徐 芳

（泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300）

遵循学生学习数学分析的知识顺序，从证明柯西收敛原理出发，对实数完备性其它定理进行一一证明，验证与推广了有关学者的论证。

完备性；收敛；极限；确界

引言

实数完备性基本定理是实数理论中的重要内容之一。实数完备性的基本定理有：数列的柯西收敛原理、实数集的确界定理、区间套定理、有限覆盖定理、数列的单调有界定理、聚点定理、致密性。这七个定理是彼此等价的，它们以不同的方式刻画了实数集R的一种特征—完备性。大多数教材[1，2]都是把确界定理作为公理，但确界定理的证明冗长，不易被学生所理解和接受。诸多学者以某一定理当为公理，对实数完备性的几大定理进行循环论证[3-6]，也有学者利用戴得金提出的完全覆盖法对实数完备性基本定理进行了统一处理[7]。这些论述堪称为经典之作。本课题组研究发现，用实数完备性彼此等价的七个定理中的一个定理去证明其它定理，在诸多文献资料中鲜有发现。而柯西收敛原理是数学分析中的重要定理之一，它为研究数列和函数极限提供了有效的思路与方法，并在判别广义积分、级数是否收敛、函数的一致连续等方面都有较广泛的应用。本文试遵循学生学习数学分析的知识顺序，从证明柯西收敛原理出发，去一一证明实数完备性的其它定理。

1 预备知识

定义4[2]设S为数轴上的点集，。若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S。若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。

2 主要结论

2.1 利用柯西收敛原理证明确界定理

确界定理[2]设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

同理可证数集S有上界必有上确界。

2.2 利用柯西收敛原理证明闭区间套定理

2.3 利用柯西收敛原理证明有限覆盖定理

有限覆盖定理[2]设H为闭区间的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖。

2.4 利用柯西收敛原理证明单调有界定理

单调有界定理[2]在实数系中，有界的单调数列必有极限。

2.5 利用柯西收敛原理证明聚点定理

聚点定理[2]实数轴上的任意有界无限点集必有聚点。

证明：假设有界无限点集E中没有聚点。不妨令m,M分别是E的下界和上界，则在[m,M]中每一点都不是E的聚点。取[m,M]的中点x1，在[m，x1][x1,M]中至少有一个区间有无穷多个点。不妨令[m，x1]中有无穷多个点，再取[m，x1]的中点x2，同样[m，x2][x1，x2]中至少有一个区间有无穷多个点。以此方法一直取下去，到[xn，xn+1]时，[xn，xn+1]中仍有无穷多个点。任取其中属于E中的两点则。由柯西收敛原理可知数列收敛。由定义1″知无限有界点集中至少有一个聚点。

2.6 利用柯西收敛原理证明致密性

致密性定理[2]有界数列必有收敛子列。

实数的基本完备性定理中，柯西收敛原理、聚点定理、确界定理、单调有界定理、闭区间套定理都是刻画实数系统的局部性质；致密性定理、有限覆盖定理是刻画实数系的整体性质。这些定理通过整体性质归结到某点邻域的“局部性质”，或由某局部性质推广到整体性质，形成了对实数系的全方位刻画。柯西收敛原理尤其重要，它既可证明极限点的存在性，又可找到相应的点。只有理清了这些定理的内涵，才能加深学生对定理的理解，拓宽证明思路，提高学生的逻辑思维能力与数学分析能力。

注释及参考文献：

[1]刘玉链、傅沛仁等.数学分析讲义（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008(1)：89-95.

[2]华东师范大学数学系.数学分析第三版[M].北京：高等教育出版社，2013(4)：7-15、161-167.

[3]田菊蓉.实数系完备性定理的等价性[J].西安联合大学学报，1999(4)：49-53.

[4]庄陵等.实数系完备性基本定理的循环证明[J].重庆工商大学学报（自科版），2006(6)：219-223.

[5]李湘云.有关实数完备性基本定理的循环证明[J].湖北财经高等专科学校学报，2002(8)：57-60.

[6]徐新荣.利用实数空间基本定理证明问题的几点注释[J].西昌学院学报（自科版），2012(3)：60-62.

[7]盖盈.关于实数完备性基本定理的统一处理方法[J].天津师范大学学报（自科版），1999(12)：23-28.

Prove Other Real Number Completeness Theorem UseCauchy Convergence Principle

ZHANG Xue-mao，LIU Lai-Shan，CHEN Ling，LIANG Ni，LIU Jing，XU Fang
(Institute of Mathematics，Taizhou University，Taizhou,Jiangsu 225300)

According to the knowledgeorder of mathematical analysis learning and starting from the proof of the Cauchy Convergence Principle,we prove the other theorems on completeness of the set of real numbers,which generalizes some related results given by some other scholars.

completeness；convergence；limit；world indeed

O171

A

1673-1891（2015）02-0023-03

2015-03-15

江苏省大学生实践创新训练项目研究成果之一（项目编号：201412917003Y）。

张学茂（1970-），男，江苏姜堰人，副教授，硕士，研究方向：基础数学。