需求具有碳排放敏感性的低碳供应链收益共享寄售契约

谢鑫鹏 ，赵道致，刘永军

（军事交通学院1a.军用车辆系；1b.军用物流系，天津 300161；2.天津大学 管理与经济学部，天津 300027）

收益共享寄售契约是指在产品未被零售商出售前，产品的所有权归制造商所有，零售商只在售出产品时才按事先约定好分享比例向制造商支付费用的一种契约形式。随着低碳经济的到来，大型制造类企业在面对政府碳排放规制时需要投资减排，以便使自身总的碳排放量小于政府规定的上限；同时，随着消费者低碳意识的形成，产品的低碳程度将会形成客户价值的组成部分。投资减排无形地会增加消费者对低碳产品的需求。低碳时代的上述变化必将深深地影响消费者的消费观念，进而改变供应链企业的成本构成和盈利模式。作为由上游制造商和下游零售商组成供应链寄售系统的主导方，零售商如何通过设计收益共享寄售契约来促使制造商增加减排投资额就成为一个值得研究的问题。

1 文献综述

供应链寄售模型的研究首先应对报童模型进行介绍。Whitin[1]首次将报童问题模型化。Mills[2]通过将平均需求看作零售价格的函数简化了模型。由于时间竞争观念[3]不断加强，使得产品生命周期不断减小，报童问题的研究逐步兴起。Petruzzi[4]就指出，存在随机需求易逝品问题的核心是单周期的存储问题。

随后，越来越多学者研究报童模型的供应链契约设计问题。Gérard[5-6]较全面地分析和比较了主要的契约形式。王迎军[7]对单方决策和联合决策环境下，供应链契约理论和方法进行了综述。还有些研究对象集中在不存在中间转移价格的寄售模型上。Giannoccaro[8]研究结果表明，所建模型能够提升系统效率。Wang[9]通过建立供应链寄售模型得到最优值并分析了其与需求价格弹性系数和成本分成比例间的敏感性。在此基础上，邱若臻[10]建立了存在缺货成本的供应链收入共享契约的随机期望模型。Yao[11]研究了由1个提供收益共享契约的主导方和2个相互竞争方组成的供应链系统。之后，有些学者专注于收益分享比例的研究。王勇[12]研究了需求具有价格敏感性的供应链利润共享合约问题。Veen[13]讨论了收入共享契约下，供应链成员的共赢性问题。Li[14]建立了一个由决策价格和库存的单一供应商和决策分享比例的零售商组成的供应链系统。van der Rhee[15]则设计了一种新型的收益共享契约来协调多级供应链系统。李丹[16]考虑了不对称信息条件下两级供应链中收益共享寄售系统的协调问题等。

上述有关报童问题的供应链收益共享契约大多是以零售价格和库存为决策变量，而本文是在上述文献基础上设定低碳产品库存和减排水平为决策变量，同时根据相关研究成果[17-20]，考虑产品低碳程度对消费者需求影响来建立供应链寄售契约模型的。

2 模型建立

本文考虑由上游单一供应商和下游单一零售商组成的寄售供应链系统，且供应商为受到政府排放规制的大型制造类企业，它需通过减排来实现碳排放总量的降低，而零售商负责将低碳产品卖出从而获得部分利润。此外，供应商投资减排会影响低碳产品价格p，并假设随减排水平τ而线性增加。即

式中：p0为减排前产品价格；k为价格随减排水平变化的敏感系数，即为关于减排水平的加价率。

考虑到消费者低碳产品需求受价格和减排水平双重影响，且与需求均为线性关系。因此需求最终是减排水平的函数。即

式中：l为低碳产品的市场容量；m为需求相对价格的敏感系数；n为需求相对减排水平的敏感系数。并假设l＞mp0，n＞mk，即减排对需求的正效用大于价格对需求的负效用。

由式（2）可知，消费者对低碳产品的需求D是其减排水平τ的线性函数。同时，考虑到易逝品单周期内需求的不确定性，由此，低碳产品的需求函数D最终可表示为

式中：y（τ）=a+bτ是确定性需求函数；而ε是一个随机变量，假设其概率分布和概率密度函数分别为F（ε），f（ε），且有E（ε）=μ。考虑到分布函数区间在[A，B]中有效，且B＞A≥0。并定义

表示需求分布损失率函数。

此外，假设供应商生产低碳产品的单位生产成本为cm，零售商的单位产品运营成本为cr，则c=cm+cr即为产品总成本。不妨设α=cr/c为零售商成本占有率；1-α=cm/c为供应商成本占有率。为简化起见，假定在销售季节后未卖出的产品不存在残余价值和销毁成本。并且如果产品短缺，在销售收入没有损失的情况下，不考虑附加惩罚成本。上述关于残余价值和销毁成本的假设不仅不影响后面的分析，而且这种情况在现实生活中也是常见的。

为了最大化期望利润，集中情况下，必须同时对产品的减排水平τ和产量q做决策。并且这一决策要在实际需求之前做出，即决策者对低碳产品的市场需求情况是不了解的。令Πc（q，τ）表示集中决策下，

供应链的期望利润。即

式中，S（q，τ）为期望销售额。即

pE[min｛q，y（τ）+ε）]=R（q，τ）则表示在这一销售季节内的期望销售收益；由于本文不考虑未售出产品的残余价值（即s=0），故有

此外，还要考虑到供应商要面临政府碳排放量的规制，需要投入资金减排。假设减排投资额是关于减排水平的二次函数，即[17]

且有g′（τ）=φτ＞0且g″（τ）=φ＞0，这说明，要想达到高的减排水平必须投入更多的资金。然而，部分减排成本由零售商为其承担。即零售商在分享供应商销售收益同时需按相同比例分享减排成本。

由此可得整个供应链的利润为

由于本文所考虑低碳产品需求是受减排水平和随机因子综合影响的，区别于传统意义上的报童模型[5-6]对许多问题的研究。故借助文献[18-19]中的方法，作如下变换：

令z≡q-（a+bτ），代入可得

由此可得低碳供应链利润函数为

3 模型求解分析

3.1 集中决策下最优值

上述分析可知集中决策下，求解Πc（q，τ）最大化问题就变为求解Πc（z，τ）最大化问题。具体求解过程：供应链整体先根据预期决策低碳产品产量z*，后对给定的任何z*决策最优减排水平τ*，目标是使得供应链整体利润Πc（z，τ）最大化。根据逆向求解法，对于任意的z，求供应链利润Πc（z，τ）对减排水平τ的一阶偏导数，可得

进一步求得集中决策下最优减排水平（z）对z的一阶导数，得

由此可得结论1。

结论1低碳产品订购量越大，供应商减排动机越强，所得产品越低碳，但减排水平随产量增加的幅度是递减的。

证明由于1-Λ′（z）=1-F（z）＞0，故。说明减排水平τ是z的单调递增函数；同时，一阶导数随着Λ′（z）的增加而减少。当Λ′（z）=0（即q=a+bτ，随机需求为0）时，任何一个微小需求的增量都会使供应商提高减排力度，此时其线性关系为；而当Λ′（z）=1时，随机需求部分已增加到极限值，减排水平将不随随机需求增加而变化。 证毕

下面求解z*。将式（11）代入式（9），可得

求上式对z一阶偏导数并经化简，得

的值。详细过程可参考文献[22]中结论2的证明。由此可得结论2

结论2若损失率函数h（z）满足h（z）2+h′（z）≥0，则

即函数H（z）相对z是单峰的，（）存在且唯一（当z=且满足φ＞2bk条件时）。

证明由集中决策下，供应商利润Πc（z）对z一阶导数，得

可定义函数

由于

求H（z）对z一阶导数，得

由结论1可知

因此，当满足h（z）2+h′（z）≥0时，最优值z*为

至此，求得集中决策下最优值为式（11）、（15）。再由式（11）求得

将式（11）、（16）代入式（9），可得集中决策下供应链最优利润为

3.2 分散决策下最优值

分散决策下，供应商投资减排并委托零售商出售产品。由于零售商售出低碳产品会增加销量，进而提高了销售收入，故其将与供应商签订收益分享契约。契约规定：对售出单个产品所得的收益，零售商按r比例获取；同时，零售商也承担部分减排成本。此时，供应商依旧对减排水平τ和产量q决策；而零售商决定收益分成比例r。

（1）供应商的最优决策。供应商的利润函数为

而零售商由于分担减排投资，故其利润函数为

由式（18）可知，当收益分享比例和成本分成系数均为0时，即r=α=0，供应商的利润函数就是集中决策下整个供应链的利润函数。

零售商给定收益分享比例r后，供应商再决策产品减排水平及产量（τd，zd）。并且供应商先决策产量zd，后决策减排水平τd。根据逆向求解法，对于任意zd，求供应商利润函数对减排水平τd一阶偏导数，并令其等于0（由于其二阶导数小于0）。得

由此可得结论3。

结论3当零售商分享减排成本时，最优减排水平相对随机变量的变化率与收益分享比例r无关；当零售商不分享减排成本时，分享比例大小将直接影响供应商的减排动机，较低分享比例会促进供应商加大减排投资。

证明由于故可得当零售商分享减排成本时，最优减排水平相对随机变量的变化率与收益分享比例r无关，这与集中决策情况相同；若考虑供应商承担所有减排成本，则

这说明，当零售商不承担减排成本时，最优减排水平随收益分享比例r的变化率有所降低；并随着0＜r＜1不断增大将不断减小，即随着分享比例的不断提高，减排水平对随机需求的敏感系数会不断下降。 证毕

同理，将式（20）代入供应商利润函数，可得

求式（21）对z一阶偏导数并经化简，得

参考结论2，可得结论4。

结论4若满足h（z）2+h′（z）≥0，则，）存在且唯一，并有∂2Πd，M（z）/∂z2＜0（当z=且满足φ＞2bk条件时）。结论4的证明过程可参考结论2的证明过程，这里不再赘述。

结论4说明，当z∈（A，B）时，存在z*使得Πd，M（z）达到最优。令∂Πd，M（z）/∂z=0，解得

至此已求得分散决策下，供应商的最优决策变量。根据以上结论可得推论1。

推论1比较集中决策和分散决策的最优决策变量可以看出，对于任意的0＜r＜1，0＜α＜1，当且仅当r=α时，有。并依据结论4可知，（）存在且唯一。这说明，当分享比例和成本分成系数满足上述关系时，能够使分散决策下的最优决策变量等于集中决策下的最优变量，即低碳供应链可通过契约协调达到集中决策下的最优值；而当减排成本完全由供应商一方承担时，对任意0＜r＜1，0＜α＜1，均有≠（），此时无论（r，α）满足什么条件均不能协调供应链以使决策变量达到集中决策下的最优。

由此可得最优解满足

结论5若损失率函数h（z）满足h（z2）+h′（z）≥0，则zd，M（r）是收益分享比例r的减函数。

结论6若损失率函数h（z）满足h（z）2+h′（z）≥0，则τd，M（r）是收益分享比例的r的减函数。

证明求式（23）对收益分享比例r的一阶导数并将代入，可得

结合结论4，可得

由此可得结论5。

同样，变换式（23），得

求其对分享比例r一阶导数，可得

式中，Ξ（z）≡h（z）/F（z）。

由于τd，M（r）和zd，M（r）均为r的减函数，故易得qd，M（r）也为r的减函数。由此可得推论2。

推论2若损失率函数h（z）满足条件h（z）2+h′（z）≥0，则qd，M（r）是收益分享比例r的减函数。

至此，结论5、6及推论2说明，供应商给零售商的分享比例越低，供应商减排投资的积极性越高，低碳产品产量也越多；反之，供应商减排投资的积极性越低，低碳产品产量也越少。下面给出结论7。

结论7分散决策时，收益分享比例r应满足

零售商才能促使供应商投资减排并获得一定收益。

证明由于供应商减排水平τ和变量z均随收益分享比例r增加而减少，故当减排水平和产量均较小时，分享比例较高；而当其均较大时，分享比例较低。若取临界值，即当（z=A）∩（τ=0）时，r=r+；而当（z=B）∩（τ=1）时，r=r-。根据式（20）、（23），设定零售商收益分享比例的上下限分别为

即当零售商的分享比例取下确界r-时，供应商的减排水平为τ+=1，产量为q*=a+b+B；而当零售商的分享比例取上确界r+时，供应商的减排水平为τ-=0，产量为q-=a+A。由此可得结论7。证毕

（2）零售商的最优决策。对给定收益分享比例r，供应商最优决策（）满足式（20）、（23）。将其代入式（19）并经化简，可得零售商利润函数为

求式（25）对分享比例r的一阶导数并经化简，可得

下面求解使零售商利润最大化的分享比例r，不妨先给出结论8。

结论8若损失率函数满足dh（z）/d（z）＞0，则零售商利润函数Πd，R（r）在分享比例满足

时取得唯一最优值。

证明为了分析零售商利润函数Πd，R（r）对分享比例r的凹凸性，不妨设函数

同理，将结论7中分享比例上限r+=1-及z=A代入式（26），可得

上式中，由于p0＞0，故

又因为

所以

时，dΠd，R（r）/dr会改变正负号。为了进一 步判断Πd，R（r）在中是否单峰，可将式（26）作变换：

式中：

而下面要证明P（r，z）是r的减函数。

求P（r，z）对z一阶导数，可得

由式（28）可知，当

时，有

同时得到：

已得P（r，z）是r的减函数且K（r）是r的增函数，故[P（r，z）-K（r）]是分享比例r的减函数，从而得出Πd，R（r）在是单峰的，即可得唯一最优值（r）。由此得结论8。证毕

针对两区间不同的划分界限，可得推论3。

推论3结合结论7、8可知，促使供应商减排和能使零售商取得极大值的2个分享比例范围的右边界相同，而左边界不同，且其差值取决于加价率k及减排效率φ的大小。

经过简单计算，当

说明能使零售商取得最大化利润的分享比例范围小于促使供应商投资减排的分享比例范围，此时零售商为取得利润最大化而决策的任何分享比例均会促使供应商减排投资；反之则说明零售商取得利润最大化的分享比例范围大于促使供应商投资减排的利润分享比例范围。即出现零售商取得最大利润而供应商不投资减排，进而其间契约终止的情况。

针对零供两主体间的利润分配问题，可得推论4。

推论4由推论1知，当r=a时，分散决策下零供两主体利润和与集中决策相等，即

但由结论7可知r*＞cα/p0是零售商取得利润最大化的分享比例下界，因此，当分享比例满足cα/p0＜r*＜α时，存在零售商利润最大化但以低比例分享最优利润的情况；由于

若令β为分散决策零售商占供应链总利润的比例，即，则若，有Πd，R（r*）＜，进而得到；反之，若，有，进而得到

推论4说明，当最优分享比例满足条件α＜r*＜1-[（1-α）c/p0]时，零售商会分享更多供应链总利润；当最优分享比例满足条件cα/p0＜r*＜α时，供应商会分享更多供应链总利润；而当r*=α时，供应链达到协调。

4 数值分析

验算过程假设随机变量ε在[0，10]服从均匀分布，期望均值μ=E（ε）=5，且失效率函数h（ε）=1/（B-z），满足

减排前产品价格P0=10，单位生产成本c=6，市场容量为a=100，减排后产品加价率为k=2，减排边际成本φ=500。则有

通过设定不同减排水平对低碳产品需求的敏感系数b，来观测其是如何影响决策变量及主体利润的。设b=1，5，10，15，20，25，则所求变量值如表1所示。

表1 集中决策下变量（τ*c，z*c及供应链期望利润E[π*c]随敏感系数b变化关系

由表1可以看出，集中决策下最优减排水平及产量均随敏感系数b增加而增加，且增量逐渐增大，即

为了分析分散决策下，零供两主体最优利润值的变化关系及利润和与集中决策下供应链总利润最优值的差值，本文只对敏感系数B=10进行数值分析，并令R=0.5。其他情况结果雷同。所得数据如表2所示。

表2 分散决策下变量及供应链期望利润E[π*]随成本占有率α变化关系

表2 分散决策下变量及供应链期望利润E[π*]随成本占有率α变化关系

由表2可看出，分散决策下，最优减排水平和产量随着成本占有率α增加而增加，但增量在逐渐减小，即。同时，供应商最优期望利润值随成本占有率α增加而增加；零售商最优期望利润值E[]随成本占有率α增加而较少，当α=r=0.5时，有=，且E[π*]达到最大值，此时有

因此，供应链最优期望利润与集中决策下，供应链最优期望利润间的差值ΔE[π]随成本占有率α增加而呈先减小后增大的变化趋势。

此外，由表2还可见，当成本占有率α过小或过大（即α=0.1∪α=0.9）时，供应商或零售商利润为负值。说明此时已出现不满足条件的情况。因此可以选择α=0.3，根据结论8可知，当dh（z）/dz=，零售商最优期望利润E[πd，M]在区间r*∈（0.18，0.58）能够取得唯一最大值。依旧取b=10，所得零售商期望利润E[πd，R]随分享比例r变化的数据如表3所示。

由表3可看出，分享比例的提高使最优产量和减排水平均降低，这也验证了当满足h（z）2+h′（z）≥0时，的结论。且当分享比例r∈（0.18，0.58）且步长为0.02时，零售商最优期望利润为，且τd，R（r）在上述区间内单峰，即最优值具有唯一性。当成本占有率α取其他值时与此结果雷同，不再赘述。

表3 零售商期望利润E[τd，M]随分享比例r变化关系

5 结语

本文从产品低碳化能提高消费者需求出发，以上游存在减排规制的供应商和下游实行分享契约的零售商组成的供应链寄售系统为研究对象。应用博弈论相关理论研究发现，分散决策下，供应商最优减排水平和产量与零售商分享比例呈负相关；只有当利润分享比例与成本占有率相等时才能实现供应链协调；能够促使供应商减排和零售商取得最优利润的分享比例是有边界的，但其范围之差是与加价率和减排效果有关。最后，通过数据模拟验证了上述结论，并得到了集中与分散决策下最优变量和利润与减排敏感系数和成本占有率的曲线关系，以及零供主体在最优分享比例下的最优利润。