一种高阶导数有理插值算法

荆 科,朱功勤

(1.阜阳师范学院 数学与统计学院,安徽 阜阳 236037;2.合肥工业大学 数学学院,合肥 230009)



一种高阶导数有理插值算法

荆 科1,2,朱功勤2

(1.阜阳师范学院 数学与统计学院,安徽 阜阳 236037;2.合肥工业大学 数学学院,合肥 230009)

针对目前高阶导数切触有理插值方法计算复杂度较高的问题,利用多项式插值基函数和多项式插值误差的性质,给出一种不仅满足各点插值阶数不相同且插值阶数最高为2的切触有理插值算法,并将其推广到向量值切触有理插值中.解决了切触有理插值函数的存在性及算法复杂性问题,并通过数值实例证明了算法的有效性.

切触有理插值；高阶导数；Hermite插值；基函数

0 引 言

切触有理插值是类似于Hermite多项式插值的一种插值方法,是有理插值的自然延伸.所谓切触有理插值问题,即给定n+1个互异的点{xi}：

(1)

(2)

目前,关于切触有理插值的研究已有许多结果:文献[1]将式(2)的非线性问题转化为线性问题;文献[2]证明了切触有理插值函数的存在性及唯一性;文献[3]利用连分式的方法给出了一种切触有理插值算法;文献[4]给出一种具有重节点的Pade逼近与切触有理插值有关的算法;文献[5-6]给出了一种基于Newton-Pade逼近方法的切触有理插值算法;文献[7]利用Hermite-Newton插值公式给出了一个判断切触有理插值函数存在的充要条件;文献[8]给出了切触有理插值的Lagrange递推算法;文献[9]利用Hermite插值基函数和多项式插值误差公式给出了一种切触有理插值算法,降低了有理插值函数的次数;文献[10-11]研究了多元切触有理插值及多元矩阵值切触有理插值.上述算法的结果虽然较好,但均为针对一阶导数插值情形的,算法的可行性大多数有限制条件,且计算量较大.

所谓向量值切触有理插值问题,就是寻求向量值有理函数：

使之满足下列条件：

(3)

其中Q(x)和nj(x)(j=0,1,…,t)是实系数多项式.

文献[12-13]利用分段组合方法和Newton插值思想,构造了一种向量值切触有理插值算法；文献[14]利用连分式及Samelson逆给出了一种向量值切触有理插值算法;文献[15]给出了一种Thiele-Werner型向量值切触有理插值插值算法.这些算法的可行性都有条件限制,计算量较大,且大多数针对一阶导数的情形.

本文利用多项式插值基函数和多项式插值误差的性质,构造一种不仅满足各点插值阶数不相同且插值阶数最高可为2的切触有理插值算法,并将其推广到向量值切触有理插值的情形,解决了该类切触有理插值函数的存在性及算法的复杂性问题.相比于其他算法,具有计算量较低的优点.

1 Hermite插值公式

设在插值节点(1)上,

yi=f(xi),mi=f″(xi),ni=f″(xi),

求插值多项式H(x)满足条件:

(4)

这里给出了3n+3个插值条件,根据文献[16]中定理1可确定唯一次数不超过3n+2的多项式,其形式为H(x)=a0+a1x+…+a3n+2x3n+2.如果根据条件(4)确定3n+3个系数a0,a1,…,a3n+2,显然计算复杂度较高,因此本文采用求Hermite插值基函数的方法.设插值基函数为αi(x),βi(x),γi(x)(i=0,1,…,n),共有3n+3个,每个基函数都属于P3n+2(P3n+2表示所有次数不高于3n+2的(实系数)多项式集合),且满足下列条件：

(5)

其中i,k=0,1,…,n.于是满足插值条件(4)的插值多项式H(x)可写成用插值基函数表示的形式,即

(6)

由式(5)可见,式(6)满足插值条件(4).下面求满足条件(5)的基函数αi(x),βi(x),γi(x)(i=0,1,…,n).根据文献[17]的Hermite插值公式可得

(7)

(8)

(9)

2 切触有理插值公式

为了建立切触有理插值公式,定义如下有理函数:

其中:

qi=q(xi);pi=q′(xi);ti=q″(xi).

命题1qi(x)具有如下性质：

证明：3)由

当i=k时,

当i≠k时,

当i=k时,

当i≠k时,

先讨论数量切触有理插值问题.引入插值算子

(10)

(11)

由qi(x)的性质2)可知：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

显然,由式(11)得到的切触有理插值函数满足插值条件(17),但该有理函数的次数太高.

(17)

其中si最大值为3.

定理1设H(x)是在节点(1)上满足条件(4)的插值多项式,若f(x)∈C3n+2[a,b],f(3n+3)(x)在(a,b)内存在,则对任意给定的x∈[a,b],存在ξ∈(a,b),使得

(18)

证明:仿照文献[18]中Hermite插值余项的证明方法即可.

推论1如果f(x)∈P3n+2,则f(x)在节点(1)上满足条件(4)的插值多项式H(x)∈P3n+2,恒等于f(x).

证明：因为f(3n+3)(ξ)=0对一切ξ∈(a,b)都成立,故由式(18)得f(x)-H(x)=0.证毕.

(19)

由式(19)可见,本文方法可以把有理插值函数分母多项式的次数降低到需要的任意次数.

下面讨论向量值切触有理插值算法.引入插值算子:

(20)

显然

(21)

利用插值算子Ni(x)和qi(x)做线性组合：

(22)

由qi(x)的性质及Ni(x)的定义,用类似于数量值的证明方法即可证明

(23)

其中si最大值为3.

推论2如果V(x)是次数不超过3n+2次的向量值多项式,则V(x)在节点(1)上满足插值条件

(24)

的插值多项式N(x)=V(x).

(25)

由式(25)可见,本文算法可以把有理插值函数的分母多项式次数降低到需要的任意次数.

3 数值实例

下面通过数值实例进一步验证本文有理插值算法的可行性是无条件的,且具有计算量较低、无极值和有理函数次数较低等优点.

解：由式(10)知插值算子为

p0(x)=-0.5x2+0.5,p1(x)=2x+1,p2(x)=2,

根据定义分母多项式q(x)=2x2+2,得

q0=4,q1=2,q2=4,s0=-4,s1=0,s2=4,t0=t1=t2=4;

由式(7)～(9)得：

再由式(11)得

(26)

易验证式(26)不仅满足插值条件,且分母多项式在实数范围内无极点,次数仅为2.

综上可见,本文利用多项式插值基函数和多项式插值误差公式的性质,给出了一种针对最高阶导数为2的切触有理插值算法.虽然解决了该类切触有理插值函数的存在性问题,降低了切触有理插值函数的分母多项式次数,但对于更高阶导数插值条件的切触有理插值情况并未解决.

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(责任编辑：赵立芹)

ARationalInterpolationAlgorithmofHigherOrderDerivative

JING Ke1,2,ZHU Gongqin2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,FuyangTeachersCollege,Fuyang236037,AnhuiProvince,China;2.SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China)

In view of the higher computational complexity of the osculatory rational interpolation method of higher derivative mostly based on the idea of generalized vandermonde matrix,by means of basis function of polynomial interpolation and error nature of polynomial interpolation,we proposed an osculatory rational interpolation algorithm that not only satisfies different interpolation order but also makes the toppest of interpolation order equal 2,and it also meets the vector-valued osculatory rational interpolation.It solves the problem of the existence of osculatory rational interpolation function and complexity of algorithm.In the end,we illustrated the effectiveness of the algorithm with a numerical example.

osculatory rational interpolation;higher order derivative;Hermite interpolation;basis function

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.08

2014-07-17.

荆 科(1983—),男,汉族,博士研究生,讲师,从事应用数值逼近的研究,E-mail:jingxuefei296@sina.com.

国家自然科学基金(批准号:71371062)、安徽省自然科学基金(批准号:1408085MD70)和安徽省高校自然科学研究项目(批准号:2014KJ011).

O241.3

：A

：1671-5489(2015)03-0389-06