国内数学符号相关研究综述

2015-08-15赵东东

新课程(下) 2015年9期

赵东东

（南京师范大学教师教育学院）

一、数学符号概述

1.历史介绍类

桂质亮从原始计数符号、数字符号以及代数几何符号三个方面对古代数学符号的发展、演变进行了叙述，并指出：相对于计数技巧，原始计数符号对数学的发展具有更基本、更重要的作用；该时期形成了大致完善的数字符号系统，在代数几何领域不成系统地出现了一些缩写与象形符号。

此外，徐美进基于对数学符号的分类，从表示数与量的符号、表示某种运算的符号（即运算符号）、表示某种关系的符号以及仅作为记号的符号等四个方面论述了数学符号的产生、演变和发展。托和勒理则论述了在数学符号化的发展进程中数的记号的产生以及代数的符号化，此外也介绍了笛卡尔和莱布尼茨关于符号化的思想以及数理逻辑兴起所具有的深远意义。

2.数学符号界定

薛茂芳认为：数学符号有两种含义。一种是单指表示数学概念的符号；另一种泛指整个数学符号体系。它既包括表示数学概念的符号，又包括表示数学命题和数学论证适用的所有符号以及其他专用符号，等等。

徐美进将数学符号分为四类：表示数与量的符号、表示某种运算的符号（即运算符号）、表示某种关系的符号以及仅作为记号的符号。

3.数学符号特点

时靖认为数学符号具有统一性。与一般语言系统不同，数学语言系统每个符号都有具体含义，有统一的标准。此外，数学符号还具有抽象、简洁、准确、层次性和系统性等特点。

桂质亮指出：数学符号系统具有约定性、规范性、简洁性、准确性、形式化，以及层次性、系统性等特点。

4.数学符号功能

桂质亮认为数学符号系统的功能体现在传达数学思想、简化数学推理、辅助数学思维以及自我生成等方面。

托和勒理认为，数学符号系统是认识的载体、描述的手段以及推理的工具。它可以有效约简思维、加快思维进程。此外，数学符号系统使思维得以规范，促进了思维的机械化并且使思维过程演算化、计算化，使人机对话成为可能。

二、数学符号学习与教学

1.数学符号学习

戴风明对符号学习的困难成因进行了分析，认为学生数学符号学习困难成因主要有：（1）学生没有理解数学符号的意义；（2）在使用数学符号时受负迁移影响；（3）缺乏将文字语言转化为符号语言的能力；（4）缺乏数学语言识别的能力。

2.数学符号教学与应用

王成营认为，承载数学知识的数学符号自成体系，除具有文字语言、符号语言和图表语言三种等价的符号形式外，还具有基本意义、联想意义、转换意义等不同的符号意义。基于此，数学符号意义获得能力具有多元性、层次性以及发展性。它以数学问题解决教学为例，给出了培养学生符号意义获得能力的四个阶段，即符号的识别与切分、符号意义的联想与发现、符号意义的整合与优化、符号的操作与表征等。

时靖认为，在数学符号教学中一方面要使学生正确书写读出数学符号和准确理解数学符号的意义；另一方面则需加强学生对数学符号的表述。

戴风明认为，在数学符号教学中应激发学生的学习兴趣，让学生从具体情境中抽象出数量关系以及变化规律并用符号来表示。此外，还应使学生理解数学符号的本质特征从而克服学习上的负迁移，通过让学生学会数学语言各种形态之间的互译来增强学生的数学符号意识等。

……

3.数学符号意识

戴风明认为，教学中应从以下几个方面培养学生的数学符号意识：（1）激发学生的学习兴趣；（2）使学生能从具体情境中抽象出数量关系、变化规律，并能用符号表示；（3）使学生理解数学符号的本质特征；（4）使学生能对数学语言在各形态间互译；（5）借助问题解决增强学生的数学符号意识；

李帮魁，吴行鹏认为，培养学生符号意识应注意：（1）充分利用“表征”，丰富学生的符号语言，加深认识。在教学实践中，应使学生经历“从具体事物个性化的符号表示学会数学的表示”的符号化表征过程，丰富符号语言，为进行符号思维奠定基础。（2）掌握不同符号间的转换。在生活和学习中，通过用多种形式表述和呈现数学对象，可以有效获得对概念本身或问题背景的深入理解。

在教学实践方面，万兆荣以苏教版“用字母表示数”一课的教学为例，介绍了如何有效引导学生建立符号意识。

三、其他相关研究

郭思乐认为：基础教育中诸多问题的根源在于对课程的本质认识局限于符号研究课程本体。符号研究课程本体注重把握符号的自身形式，脱离了生活和实际，忽视了学生学习的主体地位。相反，符号实践课程本体拒绝无意义的形而上重复，把指向生活实际作为符号使用实践的最终取向，从而利于形成个性化的符号文化、利于提高教育的质量和效率。他进一步提出，揭示两种课程本体的机理并真正实现由符号研究课程本体向符号实践课程本体的回归是深入进行课程改革的关键。

喻绍梧从数学语言的特征、数学符号、数学语言的建构等出发对数学语言以及数学符号进行了论述。他认为，数学符号在数学中的引进与应用有利于推动数学的发展。引入符号来代表“数”是代数成为一门学科的关键性的一步。此外，他认为“符号的引进不仅具有表述的作用，而且还有创造的作用。”

四、小结与研究展望

之前国内对数学符号的研究涉及领域相对较广。从纵向发展来看，国内对数学符号的研究由起初的历史介绍与理论探究逐步丰富、发展并且深入，与实践教学联系越发紧密；从横向来看，数学符号研究内容不断丰富，如数学符号与数学语言的相关研究、数学符号的识别等，在博硕士论文中还有相关的调查研究与教学策略探究。此外，作为课程标准重要内容的数学符号意识受到重视且研究文章数增长较快。

1.增加实证性的量化研究，建立相应的评估量表

对数学符号进行的理论探讨文章虽然较多且涉及面较广，但是实证性的量化研究却不多。随着当今“大数据”时代的到来，应该充分利用和发挥数字的力量，针对部分研究方向进行量化研究。此外，还应建立相应的评估量表，从而得到量化的数据进行统计分析。如，在研究数学符号意识时，有了相应的评估量表就可以得到不同年龄阶段、不同符号意识方面学生的发展水平，从而分阶段、有针对性地根据相应理论（如“最近发展区”）进行教学活动。