基于学生经验的数学建构之旅

施英丽

（福建省晋江市灵源街道灵水中心小学）

回顾我国基础教育数学发展的历史，作为一个一线教育工作者，在其思想中必定深深地烙下了“双基”这个烙印。但在社会经济、文化飞速发展的今天，必将呼唤教育培养出适应时代的人才，社会需要创新能力的人才，创新能力可从三方面获得：一是知识的掌握，二是思维的训练，三是经验的积累。《义务教育数学课程标准（2011 年版）》与实验稿相比在数学教学目标上除继续加强“双基”外，还增加了“基本思想”和“基本活动经验”，明确指出：“教学教学应以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，……使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验。”新课程要求学生主动参与数学学习过程，强调每个学习者都不应被动地等待教师把知识传递给自己，而应基于自己与世界相互作用的独特经验去建构自己的知识并赋予经验以意义。美国教育家杜威指出：“教育必须建立在经验的基础上，教育就是经验的生长和经验的改造。”杜威的论断揭示了学生原有经验和生活经验在新知识学习中的作用。可见，在教学中，经验可作为新知识的生长点和认知平台，通过不断地唤醒、改造、迁移，促进学生主动地建构数学模型。

一、唤醒经验，初涉模型

建构主义认为：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。学生的数学学习活动就是利用自己原有的数学经验来主动建构新的数学知识，通过对新知识的认识和理解，改造和充实自己的经验，再用新的经验来进行新的数学认知活动的过程。也就是说，学生的主动发展离不开学生的原有经验。学生在正式学习数学之前并非对数学一无所知，他们在来到学校之前就已经在生活实践中获得了大量的数学经验：形状、数量、时间、空间、位置、排序、大小、分类、集合、对应、比较等。这些“原生态”的经验，于学生就是一种旧知、一种定式，很多时候是“内隐”着的，是“蛰伏”着的，然而这种旧知需要当场唤醒，需要当即发生，需要有教师的引导，来传递教学上的正能量，让知识经验发光发热。在教学三年级下册《分一分（一）》时，分数概念是学生首次接触的重要的基础知识，从整数到分数是数概念的一次扩展。学生建立这个概念需要一个较长的过程。在正式学习分数以前，学生已会运用“一半”这样的词语，只是还没有思考过要用什么符号来表示它们。在学生“分苹果”的生活经验基础上，通过“把4 个苹果分给2 个人”“把4 个苹果分给4 个人”“把1 个苹果分给2 个人”这样学生熟悉的简单问题出发，巧妙地引导学生唤醒原有的“平均分”和“除法”的经验，激活了学生的经验储备，学生用个性化的方式表示出不同的结果，为初涉“分数”模型作了适宜的认知铺垫。

又如，在教学“认识人民币”一课时，让学生以小组为单位开展购物活动，通过模拟“买文具”这一真实有趣的生活情境，有效地激活了学生已有的购物的生活经验，让学生自然而然地掌握了元、角、分之间的关系。可见，学生已有的经验只有被想方设法唤醒，为教学所用，才能成为一泓源头活水，达到柳暗花明又一村的境界。

二、改造经验，建构模型

教育家杜威将教育理解为经验的不断改造，以学生经验为出发点的课堂就应让学生在活动中不断丰富与改造，而获得自己真正能理解的经验，建构数学模型。我们应更多地思考如何“对经验的改造”，将经验改造为科学，而不是成为孩子们创新思维的绊脚石，在当前就应注意防止这样一种倾向，即由于盲目追随时髦而造成“常识的迷失”。以下是某位教师在教学《线的认识》一课时的片段：

师：我们研究的是直直的线，这些线分为长的看不到头，长但可以看到头，短的可以看到头几种情况，看到头的又可以分为看得到起点和终点，只看到一个头的两种情况。（学生频频点头，师板书以上三种情况。）

师：你能将这三种不同特征的线画出来吗？（学生自由完成后交流。）

师：同学们，刚才我们画的这个“头”，在数学上称为“端点”……这三种情况在数学上分别称为直线、射线、线段。

数学模型的建立有赖于数学经验的合理改造。教师利用生活唤醒学生潜在知识经验，继续丰富线看不到起点和终点，看到起点但看不到终点，可以看到起点和终点三种情况的“生活化数学事实”。课堂中，师生进行了无拘无束的交流讨论，一起对生活中惯见说法（“头”“终点”等）进行了提炼、改造、升华，使之数学化、模型化，在学生头脑中顺利而牢固地建立了“端点”的表象，建立了直线、射线、线段的数学概念模型。教师不仅重视学生已有的经验，使学生的数学经验不断呈现、生长，而且通过交流，使经验不断丰实、提升，成功地实现了从数学经验到数学模型的跨越，充分体现“教育过程是经验不断改组、改造和转化的过程”这一理念。

在教学“面积单位”时，如果把抽象的知识直接呈现给学生，认知突然，又易死记硬背。它应该是在学生已有的“长度”知识和经验的基础上学习的，如果能以长度单位为“固着点”，把新知识纳入原有的认知结构，则新旧知识将相互作用而获得意义。因此，教师从面积单位蕴含的教学本质入手，结合线、面之间的关系，以长度单位1 厘米、1 分米、1 米分别往上推高，得到了相应的1 平方厘米、1平方分米、1 平方米的格子。这样的动态化呈现过程，化静为动，直观形象地还原了面积单位的“生命形态”。此外，呈现面积单位后，又以“这个面积单位有什么特点”“这三个面积单位有什么相同点和不同点”等问题，引发学生深层次的思考，学生的对话既沟通了长度单位和面积单位间的联系，又建构了“面积单位”的本质。

三、迁移经验，完善模型

从具体的问题抽象、提炼、构建出相应的数学模型，并不是学生认识的终结。建立模型后，教师还要组织学生通过经验的迁移将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使原有的经验结构才更为完善充实、已经构建的数学模型的情境得以扩充和提升。

如“鸡兔同笼”，通过鸡、兔来研究问题、解决问题，但建立模型的过程不可能将所有的同类事物都举尽，因此，教师要带领学生继续扩展考查的范围，提炼出不同情境、数据时相同的模型结构，变多种问题情境为一种模型结构。在建立“鸡兔同笼”问题的解决模型后，教师可以出示如下问题让学生分析：（1）停车场上停了汽车和摩托车一共32 辆，有10 个轮子，求汽车和摩托车各有多少辆？（2）全班46 人去划船，共乘12 只船，其中每只大船正好坐5 人，每只小船正好坐3 人，求大船和小船各有多少只？（3）储蓄罐里有1角和5 角的硬币共30 枚，价值7 元，1 角和5 角的硬币各有多少枚？这些题目分别涉及“汽车和摩托车”“大小船”“1 角和5 角的硬币”，尽管情境不同，但模型的本质相同，都是把不同的两种量转变成“鸡”和“兔”，然后用“鸡兔同笼”问题的模型解答。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成“鸡兔同笼”问题的“数学形式”，将复杂的问题简单化，同时积累了数学活动经验，学会了数学思考。

总之，数学知识的建构过程就是让学生从既有经验出发引出新经验的过程，是经验“打磨”的过程，学生的经验如同春天时萌芽的种子，充满着生长的力量；教师的课堂教学就是把教材这一养料以适宜的方式适时、适量地提供给学生经验这颗已萌芽的种子，以促进它不断生长。

吴荣安.基于学生经验的数学课堂资源开发与利用策略［J］.江苏教育，2012（09）.