稠油油藏水平井冷采试井模型半解析求解方法

孙玉豹，刘义刚，邹 剑，张 伟，张卫行

（ 1.中海油田服务股份有限公司油田生产事业部，天津 300450；2.中海油有限天津分公司渤海石油研究院采油工艺所，天津 300450）

目前， 水平井试井数学模型的求解方法可分为解析法和数值法。由于数值试井常出现数值弥散，计算发散等情况， 解析或半解析法是试井优先使用的一种解法。 对于存在启动压力梯度的稠油油藏水平井冷采数学模型，目前解法集中在差分、有限元等数值方法，缺少一种可应用于试井解释的半解析求解方法。 本文从基于源函数的水平井试井数学模型入手， 提出了完整的水平井压力分布半解析求解方法。

1 稠油油藏水平井冷采无井储井底压力求解

1.1 源函数的确定

根据Newman 乘积方法， 可将存在启动压力梯度的稠油油藏水平井冷采压力响应源函数归结为一个板源函数和一个存在启动压力梯度线源函数的叠加，即：

式中：S（ M，t）-存在启动压力梯度的稠油油藏水平井冷采压力响应源函数；SX（ X，t）-对应的板源函数；Sλ（ r，t）-对应的存在启动压力梯度线源函数。

板源函数SX（ X，t）由不同的外边界条件确定，可在文献中查得[1]。 存在启动压力梯度的线源函数Sλ（ r，t）按照（ 2）式对不同油藏假设下的实空间压力变化分布Δp（ r，t）求导得到。

式中：φ-孔隙度，小数；c-总压缩系数，atm-1；q-水平井产量，cm3/s；L-水平井水平段半长，cm；r-径向坐标；t-时间。

一般情况下，为了使数学模型简单并可解析求解，压力变化分布Δp（ r，t）中不考虑井储。

1.2 实空间无井储井底压力解

式中：pi-地层原始压力，atm。

2 稠油油藏水平井冷采有井储井底压力求解

将得到的实空间无井储压力分布p1（ r，t）转化至Laplace 空间，即可使用杜哈美原理、Stehfest 数值反演将其变为实空间有井储压力分布p2（ r，t）。

2.1 实空间无井储井底压力解的离散化

将在产量q 下的井底压力曲线p1（ rwe，t）（ 见图1）离散化成若干段， 其压力变化分别为：dp1，dp2，dp3…dpn。 其中：rwe-等效井筒半径，cm。

图1 压力曲线离散化示意图

则p1（ rwe，t）可被表示为：

2.2 实空间有井储井底压力解的构造

其中，无因次定义式为：

式中：k-有效渗透率，μm2；h-油层厚度，cm；pi-原始地层压力，atm；p-压力，atm；q-产量，cm3/s；B-体积系数，无因次；μ-粘度，mPa·s；t-时间；φ-孔隙度，小数；rwe-等效井径，cm，rwe=rwe-s；rw-井筒半径，cm；S-表皮因子，无因次；λb-启动压力梯度，atm/cm；下标D-无因次化后的变量。

根据杜哈美原理，可按照（ 7）式构造Laplace 空间有井储井底压力解

然后再次利用无因次化定义式和stehfest 数值反演，即可得到实空间有井储井底压力解p（ rwe，t）。

3 稠油油藏水平井冷采试井响应规律分析

使用本文提供的稠油油藏水平井冷采半解析求解方法，选取典型的稠油油藏水平井冷采基础参数（ 见表1）， 分析了井筒储集系数和启动压力梯度对压力响应曲线的影响。

表1 存在启动压力梯度水平井冷采基础参数表

特别地，除常规的压力-压力导数曲线外，针对水平井提出标准化压力

3.1 井储压力响应规律

井储考虑0.1、0.5、1、2 m3/MPa 四个水平， 得到了对应的压力-压力导数、 压力-标准化压力双对数曲线（ 见图2、图3）。分析图2、图3，井储对水平井冷采压力响应的影响规律表现为：井储系数越大，压力-压力导数曲线前期直线段数值越小， 压力导数和压力曲线的分离时间越早，压力-标准化压力水平段越长，标准化压力第一个峰越不明显。

图2 不同井储时压力-压力导数双对数曲线

图3 不同井储时压力-标准化压力双对数曲线

3.2 启动压力梯度压力响应规律

启 动 压 力 梯 度 考 虑10-3、10-4、10-5MPa/m 三 个 水平，得到了对应的压力-压力导数、压力-标准化压力双对数曲线（ 见图4、图5）。分析图4、图5，启动压力梯度对水平井冷采压力响应的影响规律表现为： 主要影响测试中期、后期；启动压力梯度越大，压力-压力导数曲线后期数值越大， 压力导数和压力曲线后期上翘越明显，标准化压力第二个峰值数值越小。

图4 不同启动压力梯度压力-压力导数双对数曲线

4 结论

（ 1）针对存在启动压力梯度下稠油油藏水平井冷采试井数学模型求解困难，利用压力离散化、杜哈美原理、Stehfest 数值反演等工具进行了半解析求解。 使得水平井试井参数的快速、准确反演成为可能。

图5 不同启动压力梯度压力-标准化压力双对数曲线

（ 2）通过分析不同井储系数时稠油油藏水平井冷采压力响应规律，发现井储系数越大，压力导数和压力曲线分离时间越早， 压力-标准化压力水平段越长，标准化压力第一个峰越不明显。

（ 3）通过分析不同启动压力梯度时稠油油藏水平井冷采压力响应规律，发现启动压力梯度越大，其对压力-压力导数曲线后期的影响越明显， 压力-压力导数曲线后期上翘幅度越大， 标准化压力第二个峰值数值越小。

［ 1］ 孔祥言.高等渗流力学［ M］.合肥：中国科学技术大学出版社，1999：165-166.

［ 2］ Harald Stehfest.Numerical inversion of laplace transforms［ R］.ACM13（ 1）：47-49.

［ 3］ 吴明录，姚军，贾维霞.水平井流线数值试井解释模型及应用［ J］.新疆石油地质，2010，31（ 4）：408-412.

［ 4］ 刘立明，廖新维.油气两相压降数值试井模型及其典型曲线的规律［ J］.石油勘探与开发，2002，29（ 4）：77-80.

［ 5］ Odeh A S，Babu D K.Comprising of solutions for the nonlinear and linearized diffusion equations［ J］.SPE Reservoir Engineering，1998，3（ 4）：1202-1206.

［ 6］ 李树松，段永刚，陈伟，等.压裂水平井的试井解释理论和方法［ J］.油气井测试，2005，14（ 5）：5-9.