行程问题大解析

2015-08-05宋元山

学苑创造·C版 2015年8期

宋元山

行程问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的问题.解决行程问题的核心思路是找出题目中的等量关系，从而列出方程或方程组进行解答.因为行程问题可以融入多种知识的练习，熟悉了这类问题，在其他类型的应用题面前也会得心应手.下面我们将行程问题归类，由易到难，逐步剖析.

首先必须明确的是，行程问题的基本公式有：

路程=速度×时间；

速度=路程÷时间；

时间=路程÷速度.

无论是列方程还是方程组，根本上都要从这三个公式中去寻找等量关系.

一、单人单程

例1：甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从80km/h提高到100km/h，运行时间缩短了3h.甲，乙两城市间的路程是多少？

【分析】如果设甲，乙两城市间的路程为xkm，那么列车在两城市间提速前的运行时间为[x ]h，提速后的运行时间为[x ]h.

【等量关系式】提速前的运行时间-提速后的运行时间=缩短的时间.

【列出方程】 [x ]-[x ]=3

例2：某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求这列火车的速度和长度.

【分析】如果设火车的速度为xm/s，火车的长度为ym，用线段表示大桥和火车的长度，根据题意可画出如下示意图：

【等量关系式】火车1min（60s）行驶的路程=桥长+火车长

火车40s行驶的路程=桥长-火车长

【列出方程组】 60x=1000+y

40x=1000-y

【举一反三①】

1.徐州至上海的铁路里程为650km，从徐州乘列车A，列车B都可直达上海，已知列车A的速度为列车B的2倍，且行驶的时间比列车B少2.5h.求列车A的速度及其从徐州到上海的行驶时间.

（提示：同学们可能会认为这道题是双人行程问题，其实这道题的类型可归结为例1的类型，即把列车B的速度看成是列车A提速后的速度，是不是就可看成单人单程的问题？）

2.一列匀速前进的火车用15秒的时间通过了一个长300米的隧道（即从车头进入隧道到车尾离开隧道）.又知在隧道顶部有一盏固定的灯，发出一束光垂直照射火车时间为2.5秒（光速=3×108m/s）.

（1）求这列火车的长度；

（2）如果这列火车用25秒的时间通过了另一个隧道，求这个隧道的长.

二、单人双程

单人双程问题的解题关键是弄清楚等量关系式：来时的路程=回时的路程.

例3：某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，到达目的地总共用了5.6h；返回时汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，到达目的地总共用了6h.请问学校距自然保护区有多远？

【分析】如果设学校距自然保护区为xkm，由题目条件“去时用了5.6h”有些同学会认为总的速度为[x ]km/h，然后用去时走平路的速度+去时爬坡的速度=总的速度，得出方程60+30=[x ].这种解法是错误的，因为速度是不能相加的.而时间是可以相加的，所以应该设平路的长度为xkm，坡路的长度为ykm，则去时走平路用了[x ]h，去时爬坡用了[y ]h，去时总共用了5.6h；回来时汽车下坡用了[y ]h，回来时走平路用了[x ]h，回来时总共用了6h.解出x和y后，学校到自然保护区的距离为（x+y）km

【等量关系式】去时走平路用的时间+去时爬坡用的时间=去时用的总时间

回来时走平路用的时间+回来时爬坡用的时间=回来时用的总时间

【列出方程组】 [x ]+[y ]=6.5

[x ]+[y ]=6

三、双人行程

1.单独应用：只应用同向而行、背向而行、相向而行、追击问题中的一种类型.

1.1同时同地同向而行：A，B两事物同时同地沿同一个方向行进.

例4：甲车的速度为60km/h，乙车的速度为80km/h，两车同时同地出发，同向而行.经过多少时间后两车相距280km.

【分析】如果设经过xh后两车相距280km，则甲车走的路程为60xkm，乙车走的路程为80xkm，根据题意可画出如下示意图：

【等量关系式】甲车行驶的距离+280=乙车行驶的距离

【列出方程】60x+280=80x

1.2同时同地背向而行：A，B两事物同时同地沿相反方向行进.

例5：甲车的速度为60km/h，乙车的速度为80km/h，两车同时同地出发，背向而行.经过多少时间两车相距280km？

【分析】如果设经过xh后两车相距280km，则甲车走的路程为60xkm，乙车走的路程为80xkm，根据题意可画出如下示意图：

【等量关系式】甲车行驶的距离+乙车行驶的距离=280

【列出方程】60x+80x=280

1.3同时相向而行（相遇问题）.

例6：甲，乙两人从相距10km的A，B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，两人出发1.5h后相遇，求甲，乙两人的速度。

【分析】如果设甲的速度为xkm/h，则乙的速度为2xkm/h，甲走过的路程为1.5xkm，乙走过的路程为2×1.5xkm，根据题意可画出如下示意图：

【等量关系式】甲行走的距离+乙行走的距离=10

【列出方程】1.5x+2×1.5x=10

1.4追及问题.

例7：一队学生从学校步行去博物馆，他们以5km/h的速度行进24min后，一名教师骑自行车以15km/h的速度按同样的路线追赶学生队伍.这名教师从出发到追上学生队伍共用了多少时间？

【分析】如果设这名教师从出发到追上学生队伍共用了xh，则该教师走过的路程为15xkm，学生走过的路程为教师出发前走过的路程加上教师出发后走过的路程，而学生在教师出发前走过的路程为5xkm，学生在教师出发后走过的路程为5xkm，又由于教师走过的路程等于学生走过的路程.根据题意可画出如下示意图：

【等量关系式】教师走过的路程=学生在教师出发前走过的路程+学生在教师出发后走过的路程

【列出方程】15x=5×[ ]+5x

1.5同地同向不同时而行（与追击问题相似）.

例8：甲，乙两人都从A地出发到B地，甲出发1h后乙才从A地出发；乙出发3h后，甲，乙两人同时到达B地.已知乙的速度为50km/h，甲的速度为多少？

【分析】如果设甲的速度为xkm/h，则乙出发前甲走过的路程为xkm，乙出发后甲走过的路程为3xkm，甲走过的路程等于乙出发前甲走过的路程加上乙出发后甲走过的路程，而乙走过的路程为50×3km，甲走过的路程等于乙走过的路程.根据题意可画出如下示意图：

【等量关系式】乙走过的路程=乙出发前甲走过的路程+乙出发后甲走过的路程

【列出方程】50×3=x+3x

1.6不同时相向而行

例9：甲，乙两站相距448km，一列慢车从甲站出发，速度为60km/h；一列快车从乙站出发，速度为100km/h。两车相向而行，慢车先出发32min，快车开出后多少时间两车相遇？

【分析】如果设快车开出后xh两车相遇，则慢车走过的路程为60×[ ]+60xkm，快车走过的路程为100xkm.根据题意可画出如下示意图：

【等量关系式】总路程=快车出发前慢车走过的路程+快车出发后慢车走过的路程+快车走过的路程

【列出方程】448=60x+60x+100x

注：涉及此类问题的还有同时同向不同地而行、不同时不同地背向而行、不同时不同地同向而行等情况，与例9的解法类似，只要画出示意图问题就会迎刃而解.

2.结合应用：把同向而行、背向而行、相向而行、追及问题两两结合起来应用.

2.1相向而行+背向而行

例10：A，B两地相距36km，小明从A地骑自行车到B地，小丽从B地骑自行车到A地，两人同时出发相向而行，经过1h后两人相遇；再过0.5h，小明余下的路程是小丽余下的路程的2倍。小明和小丽骑车的速度各是多少？

【分析】如果设小明骑车的速度为x，小丽骑车的速度为y，则相遇前小明走过的路程为x，小丽走过的路程为y；相遇后两人背向而行，小明走过的路程为0.5x，小丽走过的路程为0.5y。根据题意可画出如下示意图：

【等量关系式】相遇前小明走过的路程+相遇前小丽走过的路程=总路程

相遇后小明余下的路程=2×相遇后小丽余下的路程

【列出方程组】 x+y=36

y-0.5x=2×（x-0.5y）

2.2同向而行+相向而行

例11：一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合.1号队员从离队开始到与其他队员重新会合，经过了多长时间？

【分析】由题意“1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头”可知1号队员从离队到调转车头前的时间为[ ]h，不妨设1号队员从调转车头到与其他队员重新会合的时间为xh.根据题意可画出如下示意图：

【等量关系式】1号队员从离队到调转车头这段时间其他队员走的路程+1号队员从调转车头到与其他队员重新会合这段时间内其他队员走的路程+1号队员从调转车头到与其他队员重新会合这段时间内1号队员走的路程=10.

【列出方程】35×[ ]+35x+45x=10

【举一反三②】

1.甲，乙两人从楼底爬楼梯到楼顶，甲平均每分钟爬楼梯40级，乙平均每分钟爬楼梯50级，甲先出发2min，结果两人同时到达楼顶.问从楼底到楼顶共有楼梯多少级？

2.小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米，

（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？

（2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？

四、行程问题中的工程问题

这类问题乍一看，条件中只有时间已知，速度、路程都未知，做起来觉得无从下手，但其实只要把路程看做单位“1”，把行程问题转化为工程问题，就可以解决了.

例12：甲开汽车从B地到B地需要6h，乙开汽车从A地到B地需要4h，如果甲，乙两人分别从A，B两地出发，相向而行，经过多少小时后两车相遇.

【分析】题目中只有时间已知，速度、路程都未知，有些同学会想如果知道A地与B地的距离就好了，就可以得出甲与乙的速度，那么问题就能迎刃而解了，可是路程未知，怎么办呢？如果不是题目有错，那么是不是无论路程取什么值，经过相同的时间两车总会相遇呢？我们来试算看看。设A地与B地的距离为a，经过xh后两车相遇，立刻得出关系式：[a ]×x+[a ]×x=a，可以把方程两边的a消去，得到方程[x ]+[x ]=1，解得x=[ ].说明路程无论取什么值，两车经过相同的时间总会相遇.因此遇到类似问题，我们往往把路程看做单位“1”来进行解答.

【举一反三③】

1.甲从A地到B地需要3h，乙从A地到B地需要4h，甲，乙两人同时从A地出发，甲先到达B地后掉头向A方向行驶。问：甲，乙两人从A地同时出发到两人相遇需要多长时间？

2.甲开汽车从A地到B地需2h，乙骑摩托车从B地到A地需3h.如果乙骑摩托车从B地出发往A地，1h后甲开汽车从A地往B地，那么甲出发多少时间后与乙相遇？

五、环形跑道问题

环形跑道问题也是行程问题的一种，这类问题其实就是闭合路线上的追及问题.这类问题的特殊性在于，速度慢的人也有可能“追”上速度快的人.在这类问题中，若两人同时同地出发，同向而行，第一次相遇时，两人所走路程差为跑道一周长（若两人不同地出发，速度快的人在前，速度慢的人在后，两人第一次相遇时所走路程差，为跑道一周长减去两人最初的距离；若速度慢的人在前，解法同一般追及问题）；若两人相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为跑道一周长.

例13：运动场跑道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的[ ]倍，他们从同一地点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次与爷爷相遇.你知道他们的跑步速度吗？再过5min两人会第二次相遇吗？如果不会，请说明理由；如果会，也请说明理由。

【分析】设爷爷的跑步速度为xm/min，则小红的跑步速度为[ ]xm/min，

【等量关系式】小红跑的路程-爷爷跑的路程=400m

【列出方程】5×[ ]x-5x=400

小红和爷爷第一次相遇后再出发，问题又回到了最开始两人同时同地同向出发的情况，在速度不变的情况下，5min后两人还会再次相遇.

例14：甲，乙两车分别用均匀的速度在周长为600m的圆形轨道上运动，甲车的速度较快.当两车反向运动时，每15s相遇一次.当两车同向运动时，每1min相遇一次.求两车的速度.

【分析】设甲，乙两车的速度分别为xm/s和ym/s.

【等量关系式】同向而行甲所走的路程-同向而行乙所走的路程=轨道一周长

反向而行甲所走的路程+反向而行乙所走的路程=轨道一周长

【列出方程组】 15x+15y=600

60x-60y=600

【举一反三④】