螺杆钻具定子衬套收缩变形数值仿真方法

舒　峰，胡少华，况雨春，董宗正（．北京矿冶研究总院，北京0060；．中石化西北油田分公司特种工程管理中心，新疆轮台84600；．西南石油大学机电工程学院，成都60500）

螺杆钻具定子衬套收缩变形数值仿真方法

舒峰1，胡少华2，况雨春3，董宗正3
（1．北京矿冶研究总院，北京100160；2．中石化西北油田分公司特种工程管理中心，新疆轮台841600；3．西南石油大学机电工程学院，成都610500）①

针对螺杆定子衬套热成型加工中冷却过程引起的橡胶衬套收缩问题进行研究，分析了影响衬套截面收缩变形的关键因素。在传统的线性收缩模型和自由收缩模型理论的基础上，提出了一种新的定子衬套收缩变形数值仿真方法，建立了能够准确模拟橡胶衬套收缩变形的仿真模型。采用三坐标测量仪获得的实例测量数据对建立的数值模型进行验证，并与传统收缩模型的计算结果进行误差对比分析。结果表明：建立的定子衬套收缩变形仿真模型计算得到的衬套廓线与实测廓线吻合情况较好，其误差大幅降低，具有良好的应用效果。

螺杆钻具；定子衬套；变形；数值分析

螺杆钻具是目前广泛使用的一种井下动力钻具，其核心部件马达主要由一对啮合的定子和转子组成［1］。螺杆定子是由钢制定子管与橡胶内衬套粘接而成，其内衬套一般采用丁晴橡胶作为材料，通过热成型的方法加工［2-3］。在此过程中，定子由注胶和硫化高温冷却到常温必然会引起其橡胶衬套发生收缩变形［4-8］，而定子衬套截面线型的变化将导致马达定转子之间的啮合关系的变化，从而影响螺杆钻具的工作性能［9-17］。

目前对于冷却过程引起橡胶衬套收缩变形的分析模型多采用线性收缩模型，该模型对于规则截面形状的橡胶制品具有较好的适用性，但对于如图1所示非规则截面形状的橡胶衬套，其计算误差较大［18］。

本文提出了一种新的定子橡胶衬套收缩仿真方法，并通过三坐标测量仪获得的测量数据对建立的数值模型进行验证分析，为定子衬套的线型设计、修正和优化奠定了理论基础。

1　定子衬套收缩变形影响因素分析

1．1 几何模型

定子衬套截面廓线目前多采用摆线线型［19-21］，以应用最广泛的普通内摆线线型为例，建立平面几何模型如图1所示。由于多头定子衬套截面廓线的对称性，受温度影响时其收缩变形规律曲线也具有对称性，因此仅取其对称元素作为研究对象，如图2所示。

图1　定子衬套完整截面

图2　对称部分截面

1．2 影响因素分析

由于橡胶衬套结构和材料的复杂性，其热成型加工中的冷却过程引起的衬套截面变形受多方面因素影响。从衬套结构的角度考虑，非规则截面形状、衬套与定子管通过粘接剂胶接将对其收缩方向产生影响；从衬套材料和加工工艺的角度考虑，橡胶材料收缩率近似线性但非线性、硫化过程引起的残余应力和弹性恢复、注胶压力不稳定等都将引起衬套截面变形的无规律性［22］。

鉴于影响程度不同，认为非规则截面形状及衬套受粘接作用对其收缩方向的影响为关键影响因素。忽略加工工艺的影响，假设橡胶材料均质，各向同性，同时在该温度范围内橡胶材料受温度影响呈线性变化，本文仅从结构的角度对定子衬套的收缩变形进行分析。

不同于规则形状的带金属嵌件的橡胶制品有确定的收缩方向，如图2所示的非规则截面形状橡胶衬套不同相角对应的厚度不同，除了靠近定子管壁的橡胶层受胶接影响产生受迫变形，离定子管壁相对较远的橡胶层具有自由收缩的趋势。而传统的线性收缩模型（如图3所示）忽略了定子衬套非规则截面形状所引起的橡胶层自由收缩影响，仅考虑为沿其截面的径向方向收缩变形。文献［23-24］中针对自由收缩状态下非规则截面形状的零件受温度影响产生的变形进行了比对研究，确定了一种有效的收缩应用模型，认为非规则截面上每个点都沿法向收缩，以其内切圆圆心作为收缩中心。如图4所示，橡胶衬套自由收缩的方向沿定子内廓线的法线方向。

图3　传统的线性收缩模型

图4　本文提出的收缩模型

橡胶衬套与定子管粘接将引起衬套收缩方向的改变，橡胶衬套的变形不完全是自由收缩过程，靠近定子管壁的橡胶层受胶接影响形成受迫变形，橡胶衬套有向定子管壁收缩的趋势，此时其收缩方向沿定子管截面的径向，如图4所示的方向。

2　定子衬套收缩仿真方法

针对影响橡胶衬套变形的关键因素，综合考虑衬套与定子管壁粘接和非规则截面形状对于其收缩方向的影响，在传统的线性收缩模型和自由收缩模型理论的基础上，建立一种能够准确模拟螺杆定子橡胶衬套收缩变形的仿真模型。

2．1 建立数值仿真模型

定子衬套廓线多以一组离散点的形式而非确定的方程来表达的，使用解析法比较困难。本文采用数值算法，通过循环迭代，计算每一廓形离散点径向和法向的综合收缩量，逐点得到收缩变形后的衬套截面廓线［25-26］。该方法具有数学原理简单，易于编程实现的特点。

如图4所示，定子衬套廓形点A沿A-O-B路径收缩，点O为定子衬套廓线与定子管截面圆弧在离散点A处对应的内切圆圆心。即定子衬套廓形点沿法向向其内切圆圆心收缩，而对应该廓形点的内切圆圆心沿定子管径向收缩，廓线离散点法向收缩量与径向收缩量的向量和为衬套廓形点的总收缩量。

廓线离散点A与内切圆圆心O、圆弧切点B均是一一对应的关系。假设橡胶收缩率为μ，向量A→O的方向为离散点处的法线方向，则沿法线方向的收缩量用向量表示：

如图5所示，定子衬套廓形点的收缩量可用向量和表示为：

图5　定子衬套廓形点收缩向量

此时P点坐标即为廓形点A经收缩变形后的位置坐标。通过逐点迭代循环，对所有的廓形离散点数组A＝［A1，A2，…，An］进行上述仿真计算，将得到所有廓形点收缩变化后的位置坐标数组P＝［P1，P2，…，Pn］，由此得到经收缩仿真计算后的橡胶衬套廓线。

2．2 计算内切圆圆心

按上述方法建立收缩仿真模型的关键是确定每一廓形离散点对应的收缩中心（内切圆圆心）。由于定子廓线是以离散点的形式而非确定的方程来表达的，仍采用数值法通过循环迭代计算各廓形点对应的内切圆圆心。

仿真策略如下：对于定子截面廓线上的任一离散点A，沿其法线方向进行迭代，假设第一次迭代至O′点，通过循环搜索点O到定子管内壁圆弧段的最小距离点B′，则直线O′B′为圆弧段上的点B的近似法线，圆弧段离散点越密集，越接近其真实法线。然后判断是否有线段，若不满足则继续下一次迭代至O″的计算，假设点A迭代至点O时刚好满足，则停止迭代，此时有或近似有O点即为所求点A的内切圆圆心。迭代步长越小精度越高，则值越接近，但计算效率会降低。迭代示意图如图6所示。

图6　计算内切圆圆心迭代示意

根据上述仿真策略在MATLAB环境下编制程序，计算得衬套廓形离散点对应的内切圆圆心如图7所示。为了将计算结果直观清晰地显示出来，仅绘制了部分廓形点对应的内切圆及其圆心。

图7　部分廓形点对应的内切圆及圆心

3　仿真模型的误差分析

测量定子衬套收缩前和收缩后的截面廓形，应用本文建立的仿真模型对收缩前的测量廓形进行计算，将仿真计算结果与收缩后的测量廓形对比分析，评估该仿真模型的误差情况。

3．1 定子衬套的测量数据提取

螺杆截面廓形的测量一般使用三坐标测量仪，应用某公司的三坐标测量仪对该公司的ø172型号螺杆钻具的定子衬套和芯轴截面廓形进行测量，测量数据分为两组，其中定子衬套截面测量数据即为冷却收缩后处于常温时的廓形数据。由于定子衬套是通过芯轴脱模而成的，忽略温度对钢制芯轴的影响，可认为芯轴的截面测量数据即为衬套冷却收缩之前的廓形数据。分别将定子衬套和芯轴的测量数据在MATLAB软件中绘图，如图8～9所示。

图8　芯轴测量数据

图9　定子衬套测量数据

图8～9中测量廓形数据不完整，其原因是螺杆面向测量台面的部分操作不便造成的，但并不影响，计算和分析只需取其对称元素即可。

三坐标测量仪输出的螺杆廓形的位置是随机的，需要对测量数据进行调整处理，使其中心与坐标原点重合，并旋转图形数据使其对称线与坐标轴重合，尽可能消除二者对比分析时的位置误差。利用MATLAB编制程序对两组测量数据进行上述处理后，取其廓形的对称元素，输出二者的对比如图10所示，可看出定子橡胶衬套冷却收缩前后的廓形变化。

图10　橡胶衬套收缩前后的廓形对比

3．2 实测定子廓形的仿真计算及误差分析

对收缩前的衬套测量廓形应用本文建立的收缩仿真模型计算，将计算得到的衬套廓形与收缩后的衬套测量廓形对比如图11所示。

图11　仿真与实测廓形对比

计算图11中仿真廓线与测量廓线的误差时，应计算二者的法向误差而非径向误差。对于基准廓线上的某一离散点，采用数值方法计算该点对应的法向误差时，较简捷的策略是以该点到被对比廓线的最小距离作为二者的近似法向误差。可采用样条插值的方法增大被对比廓线的离散点密度，提高计算精度。

采用上述策略计算仿真廓形与实测廓形的法向误差，得到误差分布曲线如图12中实线所示，图中横坐标为定子衬套廓线离散点序号，同时也是廓线离散点对应的相角，纵坐标为对应的法向误差。最大误差分布在曲率变化剧烈的摆线与圆弧交界点附近，最大误差值为0．065mm，根据该位置衬套廓线离散点的实际总收缩量，计算得相对误差为7．5%，相对于目前国内的加工精度而言，该误差在允许的范围内。

3．3 两种收缩模型的误差对比

对收缩前的衬套测量廓形应用图3所示传统的线性收缩模型计算，将得到的衬套仿真廓形与收缩后的测量廓形对比，计算二者的法向误差，其误差分布曲线如图12中虚线所示，最大误差达到0．193mm，仍分布在构成螺杆廓线的摆线与圆弧交界点附近。

图12　仿真廓形的误差分布曲线

对比二者的误差曲线发现，相对于传统的线性收缩模型，采用本文建立的仿真模型计算得到的衬套廓线与实测廓线吻合情况较好，其误差大幅降低。

4　结论

1） 分析了影响定子橡胶衬套收缩变形的关键因素，在传统的线性收缩模型和自由收缩模型理论的基础上，建立了定子衬套收缩的数值仿真模型，并确定了一种计算非规则截面内切圆圆心的数值方法。

2） 通过应用实例中将测量廓形与仿真廓形进行对比分析，得到了仿真模型误差分布曲线，其最大相对误差为7．5%，与实际的衬套收缩变形情况吻合较好。

3） 通过与传统收缩模型的计算结果进行误差对比表明，采用本文建立的仿真模型计算得到的定子衬套内廓线误差大幅降低，具有较好的应用效果。

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A Numerical Simulation Method for Shrinkage of Screw Stator Bushing

SHU Feng1，HU Shaohua2，KUANG Yuchun3，DONG Zongzheng3
（1．Beijing General Research Institute of Mining，Beijing 100160，China；
2．Special Project Management Center，Northwest Constituent Company of Sinopec，Luntai 841600，China；3．College of Mechatronic Engineering，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China）

Aiming at the problem of rubber bushing’s shrinkage which caused by cooling process in thermoforming of screw stator bushing，through the analysis of the key factors affecting the bush-ing section’s shrinkage，based on the theory of traditional linear shrinkagemodel and free shrink-agemodel，this paper presents a new numerical simulationmethod，and establish the simulationmodel that can accurately simulate the shrinkage deformation of rubber bushing，then verify the numericalmodel bymeasurement data that are obtained by CMM．Compared with the convention-al shrinkagemodel，the results that computed by the simulationmodel established in this paper aremuch better agreement with the actual situation，it’s indicated that the error is greatly re-duced，thus it has good application effect．

screw drill tool；stator bushing；deformation；numerical simulation

TE921．202

A

10．3969／j．issn．1001-3842．2015．08．004

1001－3482（2015）08－0016－05

①2015－01－20

国家自然科学基金项目资助（51174273）

舒 峰（1987-），男，湖北黄冈人，工程师，硕士，2013年毕业于西南石油大学机械制造及其自动化专业，研究方向为井下工具及钻头，计算机仿真等，Email：shufeng＠bgrimm．com。